高等数学习题全解与学习指导（下册】 (5)M102=(1.1.4)-(1.-2.3)=(0.3,1). 1=(2,0,2)-(1,-2.3)=(1,2,-1) M7.M,m=(0.3,1)·(1,2.-1)=0+3·2+1·(-1)=5 Mn×M,n=(03.1)×(1,2,-1)=(-5.1,-3). (6)AB=(0-2,2-(-1),1-(-2)=(-2,3,3): AC=(2-2.3-(-1).0-(-2)=(0.4.2). s。=1店×元=1(-2.3.3)×(0.4.2)川 =|(-6.4,-8)=16=229 /02+12+22 b=42-2.是 +(-3+下 √26 (8)因为a⊥b,所以a与b的数量积为零，即 a·b=(1,2,3)·(-2,k,4)=-2+2k+12=0 从而素=-5. 2.一向量与x轴和y轴的夹角相等，而与：轴的夹角是与x轴、y轴夹角的两倍，求向 量的方向角. 解 已知a=B,y=2a,故由cn2a+co2a+cns2(2a)=1得 2cos'a(2cos'a -1)=0. 得a0及m号于是 aBe2,y和或u=B=子，y=受 3.给定M(-2,0.,1),N(2,3,O)两点，在x轴上有一点A,满足|4M川=|AW,求 点A的坐标 解因为点A在x轴上，可设所求点为A(x,0,O),依题设AM川=MN,即 √x+2)2+Π=√x-2)+3, 所以x=1,从而所求点为A(1,0,0). 4.从点A(2.-1,7)沿向量a=(8,9,-12)方向取长为34的线段AB,求点B的坐标 解设点B的坐标为(x,y,),店=(x-2,y+1,:-7),又丽∥a,故设 AB=A@,即x-2=8A,y+1=9A,:-7=-12A, 34=|AB1=√(x-2)+(y+1)2+(:-7)=√/(8A)+(9A)+(-12A)7, 解得A=2,从而点B的坐标为(18,17，-17). 5.设点P在y轴上，它到点P(巨，0,3)的距离为到点P(1,0,-1)的距离的两 倍，求点P的坐标 解因为点P在y轴上，设点P的坐标为(O,y,0), IPp,=√2)2+y2+32=星+i.1P=+y2+(-1)下=√P+2. .6
第五章向量与空问解桥几何 因为1PP|=2PP2l.即 √F+1Π=2P+2」 解得y=±1.所求点为(0,1,0)，(0，-1,0) 6,设点A位于第I卦限，向径与x轴.)轴的夹角依次为受和牙，且=6，求 点A的坐标 解。=行，B=子由关系式cor2a+cmB+co2y=, 得 =-份)-9 因为点A在第1卦限，知my>0,故my=宁 于是=回m=6行受》=0,3，功，点4的座标3,3点，动 7.证明：Pmj.(Aa)=APi.a. 证明记(a,u)=中，(Aa,u)=P1, 当A>0时，e,=g,Pm.(Aa)=laalcose1=alcasp=APi.a 当A<0时，P1=石-P, Prj.(Aa)=lalcose1 =-A lalcos(-)=A lalcosp APrj.a. 当A=0时，显然成立 因此P可j.(Aa)=AP可j.a, &记6为非零向量a的同向单位向量，证明：6：合 证明由于e、a同向，故a=Ae.(A>0),且le|=I,因此|al=Ae.l=A,即 a=|ae.,注意到a0,故结论成立. 9.求平行于向量a=6d+)-6k的单位向量. 解所求向量有两个，一个与a同向，一个与a反向 由于 la=√6+7+(-6)7=11 从而6=合片+导或-6品品品+品 10.设向量a与各坐标轴成相等的锐角，|a=25,求向量a的坐标表达式. 解因为向量a与各坐标轴成相等的锐角，所以a的三个方向角a=B=Y,又因为 cos'a cos'B cos'y =I 因此3wal,aa后 因为：同有的单位育量：一后言局、从 (1111 a=ae=26后后肩2.22 7
高等数学习题全解与学习指导（下册） 11.已知a=(1.1.-4),b=(1,-2,2),求： (1)a·b:(2)a与b的夹角0：(3)a在b上的投影 解(1)a·b=1·1+1·(-2)+(-4)·2=-9 2a的方从面0-号 a.b （)因为ab=bPa,所以Pma==-3 a.b 12.已知两点M(2,2,万)和M(1,3,0),计算向量MM的模、方向余弦和方 向角. 解1,0=(1-2,3-2.0-2)=(-1,1，-2) W,=-+P+(-=+1+7==2: a要B=导7识 小程 13设lal=3,bl=2.(ab)=,求： (1)(3a+2b)·(2a-5b):(2)1a-b12. 解(1)(3a+2b)·(2a-5b)=61a2-15a·b+4h·a-10lb =6laP-11a·b-101bP =6lal2-11lallblcos(a.B)-10 1b12 256·32-132·-102=-19 (2)la-b2=(a-b)·(a-b)=a2+|b2-2a·b =lal2+1b12-2lallblcos(a.b) =32+2-232=7 14.已知点A(1,-3,4),B(-2,1.-1),C(-3,-1,1),求： (1)∠B4C: (2)A店在A元上的投影. 解(1)AB=(-2-1,1-(-3),-1-4)=(-3,4,-5), A元=(-3-1，-1-(-3)，1-4)=(-4,2，-3)， A店.A元 cos∠BAC= (-3.4.-5)·(-4.2,-3) 1B1记1√-3)+4+(-5下√-42+2+（-3 5露 ∠BAC=arcs 7 8
第五章向量与空问解桥几何 (2)Pc .花35 15.已知a=(2,3,1),b=(1.-2,1),求a×b及b×a 解a×b=(2.3.1)×(1.-2.1)=231=(5,-1,-7): 1-21 b×a=(1,-2,1)×(2,3.1)=1-21=(-5.1,7) 231 16.已知向量a=(2,-3,1),b=(1,-1,3),c=(1,-2,0),求： (1)(a+b)×(b+c):(2)(a×b)·c:(3)(axb)×c:(4)(a·b)c-(a·c)b 解(1)a+b=(2+1,-3+(-1),1+3)=(3,-4,4). b+c=(1+1,-1+(-2),3+0)=(2,-3,3). ij k (a+b)×(b+c)=(3,-4.4)×(2,-3,3)=3-44=(0.-1,-1 2-33 (2)a×b=(2,-3,1)×(1,-1,3)=2-31=(-8,-5,1), 人1-13 (a×b)·c=(-8,-5,1)·(1,-2,0)=-8+(-5)(-2)+0=2 (3)(a×b)×c=(-8,-5,1)×(1,-2,0)=-8-51=(2,1,21). 1-20 (4)a·b=(2,-3.1)·(1,-1,3)=2+(-3)(-1)+3=8, a·c=(2,-3.1)·(1,-2.0)=2+(-3)(-2)+0=8. (a·b)c-(a·c)b=8(1,-2.0)-8(1,-1,3)=(0,-8,-24) 17.求与a=31-2对+4k,b=1+j-2k都垂直的单位向量. 解c=a×b=a,a,a,=3-24=10+5k. b,6,6,11-2 18.已知空间四点A(-1,0,3),B(0,2,2),C(2,-2,-1),D(1,-1,1),求 与AB、CD都垂直的单位向量. 解店=(0-(-1)，2-0,2-3)=(1,2，-1). C7=(1-2.-1-(-2),1-(-1)=(-1,1,2). i j k A×c而=(1,2，-1)×(-1.1,2)=12-1=(5，-1,3) -112 .9
高等数学习题全解与学习指导（下册】 1A店×C=√F+(-1)严+3=35，则与店和C⑦垂直的单位向量为 店xc而(5 e= -13 x而（秀秀厉 -3 或 -e=- A×c币(-5 丽x而后''示 19.设向量a=2i+人，b=-1+2k,求以a,b为邻边的平行四边形的面积 ii k 解a×b=(2,1,0)×(-1,0,2)=210=(2.-4,1) -102 s=la×b=22+（-4)+下=√2I. 0i0-2.122 20.求以点A(1,2,3),B(0,0,1),C(3,1,0)为顶点的三角形的面积. AC=(3-1,1-2,0-3)=(2,-1,-3), 1了k 话×4元=(-1，-2.-2)×(2-1，-3)=-1-2-2=(4.-7.5) 2●2-1-3 s=丽×C+(+9: 21.设A=2a+b,B=ka+b,其中|al=1,1b=2,a1b.间： (1)法为何值时，A1B: (2)k为何值时，以A与B为邻边的平行四边形的面积为6. 解(1)因为a⊥b,故a·b=0,所以 0=A·B=(2a+b)·(ka+b)=2k|aP+lbP=2张+4，k=-2: (2)A×B=(2a+b)×(ka+b)=(2-k)(a×b), 平行四边形面积为A×B的模，所以 6=A×B=l2-k|lallblsin(a,b)=l2-k小2,6-2=±3 所以 =5,=-1. 22.已知a=2m+3n.b=3m-m,m、n是两个互相垂直的单位向量，求： (1)a.b:(2)la×b 解(1)a·b=(2m+3)·(3m-n)=6m2+7 mllnlcos(m,n)-3n =6·12+7.0-3·12=3: (2)a×b=(2m+3n)×(3m-n)=6m×m-2m×n+9n×m-3n×n =-11m×n, la×b=11lm×n=11 mllalsin(m,n)=1L. 23.设a、b、c满足a+b+c=0. ()证明：a.b+bc+c.a=-2(a+b+lcP: