10.1格的定义与性质 (3)<,≤>构成格： ta,b∈S, tofgob)-(aoaob-aob,bolaob)-ao(bob)-aob ∴.a≤aob,b≤aob,即aob是a,b的上界； 设c为{a,b的上界，则a≤c→aoc=c,b≤c→boc=c ∴.(aob)oc-ao(boc)=aoc=c∴.aob是{a,b的最小上界，即avb=aob aob=b→a*b=a*(aob)=a a*b=a→lab=(a*b)b=b→ab=6⊙a≤6台a*b=a (a*b)*a=(a*a)*b=a*b→a*b≤a (a*b)*b=a*(b*b)=a*b→a*b≤b ∴.a*b是a,b的下界； 设c为{a,b}的下界，则c*a=c,c*b=c ∴c*(a*b)=(c*a)*b=c*b=c∴c≤a*b,即a*b是{a,b的最大下界， 即ab=a*b 6/73
6/73 10.1 格的定义与性质 a b a b c a b c a b c b c c a b a b a b c a b c a c c b c a b a b a b b a b b a b a b b a b a a a b a b a b a a b b a b a b a a b a a b a b b b a b b a b a a b a a b c a b c a c c a b a b a b a b c a b a c a c c b c b c c a a b b a b a b a b a b S a a b a a b a b b a b a b b a b S = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 即 ，即 是 的最大下界， 设 为 的下界，则 ， 是 的下界； 是 的最小上界，即 设 为 的上界，则 ， ， ，即 是 的上界； ，有： ， 构成格： ( ) ( ) { , } { , } , , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { , } { , } , , ( ) ( ) ( ) ( ) (3) ,
10.1格的定义与性质 由定理10.1,10.2可知： <L,≤>是格 诱导出 →代数系统<L,A,V>∧，V满足交换，结合， 吸收（幂等）律 代数系统<S,*,o>,*,满足交换，结合，吸收（幂等）律 诱导出 入 <S,≤>成一个格，且a∧b=a*b,aVb=aob 令：y={<L,≤>kL,>是格}，B={<L,*,o>KL,*,o>是代数系统，*与。 是二元运算，且满足交换律，结合律，吸收（幂等）律} 定义映射fy→B,对廿<L,>∈yf(<L,≤>)=<L,*,o>,其中<L,*,o> 是<L,≤>诱导出的代数系统， 定义映射g:B→y对H<L,*,o>∈B,g(<L,*,o>)=<L,≤>，其中<L,≤> 是<L,*,o>诱导出的格， 则有：∫og=1,g°∫=IB 773
7/73 10.1 格的定义与性质 由定理10.1,10.2可知： S a b a b a b a b S L L = = ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→ 成一个格，且 ， 代数系统 满足交换，结合，吸收 幂等 律 吸收 幂等 律 是格 代数系统 ， 满足交换，结合， 诱导出 诱导出 , , , , , ( ) ( ) , , , f g I g f I L g L g L L L L f L f L L L L L L L = = → = → = = = 则有： ， 是 诱导出的格， 定义映射 ： ，对 ， ，其中 是 诱导出的代数系统， 定义映射 ： ，对 ， ，其中 是二元运算，且满足交换律，结合律，吸收 幂等 律 令： 是格 ， 是代数系统，与 , , , , ( , , ) , , , , ( , ) , , , , ( ) } { , | , } { , , | ,
10.1格的定义与性质 因此，根据定理10.1,10.2，可以用代数系统的方 式来定义格。 定义10.3：设<S,*,0>是代数系统，*，0是二元 运算且满足交换律，结合律，吸收律（幂等律）， 则<S,*,0>构成一个格。 •2.性质 ·定理10.3：设<L,≤>是格，则Va,b∈L,有 1)a≤aVb,b≤aVb,aAb≤a,aAb≤b; (2)a≤b,c≤d→aVc≤bvd,aAc≤bAd; (3)a≤b→aVc≤bVc,a∧c≤b∧c; (4)a≤b台aAb=a台avb=b;(5)av(b∧c)≤(avb)∧(avc): (6)a≤c台aV(b∧c)≤(aVb)Λc. 8/73
8/73 10.1 格的定义与性质 因此，根据定理10.1，10.2，可以用代数系统的方 式来定义格。 •定义10.3：设<S,*,ο>是代数系统， *,ο是二元 运算且满足交换律，结合律，吸收律(幂等律)， 则<S,*,ο>构成一个格。 • 2.性质 •定理10.3：设<L, ≤>是格，则 a,b L ，有 (6) ( ) ( ) . (4) (5) ( ) ( ) ( ) (3) (2) (1) a c a b c a b c a b a b a a b b a b c a b a c a b a c b c a c b c a b c d a c b d a c b d a a b b a b a b a a b b = = ； ； ， ； ， ， ； ， ， ， ；
10.1格的定义与性质 证：(1)直接由定义； (2)a≤b,dm由)知：b≤bVd,d≤bVd,由≤的传递性，得 a≤bvd,c≤bvd,∴.bvd是a与c的一个上界，而avc是a,c的 最小上界，.avc≤bvd,同理aAc≤bAd; (3)a≤b,c≤c,由(2)得：aVc≤bVc,a∧c≤bAc; (4)(→)：q≤b,而a≤a,由(2)得：aAa=a≤a∧b, 同时由(1)4Ab≤a∴.a=aAb (=):a=aAb,则avb=(aAb)vb=b,而a≤aVb=b;即a≤b 另一方面，a=aAb→avb=b,即avb=b 且b=avb,得：aAb=aA(avb)=a ∴.a≤b台a∧b=a台avb=b; 9/73
9/73 10.1 格的定义与性质 ； 且 ，得： 另一方面， ，即 ： ，则 ，而 ，即 同时由 ： ，而 ，由 得： ， ， ，由 得： ， ； 最小上界， ，同理 ； ， ， 是 与 的一个上界，而 是 的 ， ，由 知： ， ，由 的传递性，得 证： 直接由定义； a b a b a a b b b a b a b a a b a a a b a b b a b b a a b a b a b b b a a b b a b a b a a a b a b a a a a a a b a b c c a c b c a c b c a c b d a c b d a b d c b d b d a c a c a c a b c d b b d d b d = = = = = = = = = = = = = = ( ) ( ) ( ) (1) (4)( ) (2) (3) (2) , (2) (1) (1)
10.1格的定义与性质 (5)a≤a,bAc≤b由(2)得：av(bAc)≤avb, a≤a,b∧c≤c由(2)得：aV(b∧c)≤aVc, ∴.av(b∧c)=(av(b∧c)∧(av(bAc)≤(avb)A(aVc): (6(=):aV(bAc)≤(aVb)Ac,而a≤av(bAc),(avb)Ac≤c .由传递性：a≤c (→)：a≤c,则avc=c,代入(5)得： aV(b∧c)≤(avb)∧(aVc)=(aVb)∧c. 10/73
10/73 10.1 格的定义与性质 ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) (5) (6)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) (2) ( ) (5) (2) ( ) a b c a b a c a b c a c a c c a c a b c a b c a a b c a b c c a b c a b c a b c a b a c a a b c c a b c a c a a b c b a b c a b = = = ： ，则 ，代入 得： 由传递性： ： ，而 ， ； ， 由 得： ， ， 由 得：