三、多元函数的极限 二元函数=f(x,y)当x→>x,y→y,即 P(x,y)→P(x,y)时的极限 这里P→P表示点P以任何方式趋于Po,也就 是点P与点P间的距离趋于零,即 Plx-x)+(y-)2→0 定义2设函数f(y在开区域(或闭区域) 内有定义,P→(x02y)是D的内点或边界点如果 对于任意给定的正数E,总存在正数δ,使得 对于适合不等式 圆圆回
三、多元函数的极限 二元函数 当 , ,即 时的极限. 这里 表示点 以任何方式趋于 ，也就 是点 与点 间的距离趋于零，即 定义2 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域） 内有定义， 是D的内点或边界点如果 对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得 对于适合不等式 z f (x, y) 0 x x 0 y y 0 0 0 P(x, y) P (x , y ) P P0 P0 P0 2 2 0 0 0 P P (x x ) (y y ) 0 0 0 0 P (x , y ) P P 上一页 下一页 返 回
0<|PNx-x)+(y=x)<6 的一切点P(x,y)∈D,都有 f(x, y)-Ak 成立,则称常A为函数f(x,y)当x→x,y→y 时的极限,记作 lim f(x, y)=A x→>x0 或 f(x,y)→>A(P>0) 这里p=|P| 例题 圆圆回
的一切点P(x,y)∈D，都有 成立，则称常A为函数f(x,y)当 ， 时的极限，记作 或 这里 . 2 2 0 0 0 0 P P ( x x ) ( y y ) f (x, y) A 0 x x 0 y y 0 lim ( , ) x x f x y A f (x, y) A ( 0) P P0 例题 上一页 下一页 返 回
四、多元函数的连续性 定义3设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D 内有定义,2(x,)是D的内点或边界点且P∈D 一如果 limf(x, y)=f(xo, yo) x→>x 则称函数f(x,y)在点P(xn2y连续 若函数f(x,y)在点P(x,y不连续,则称P为 2函数f(xy)的间短点 函数 Xy f(x,y)={1×1,x2+y2≠0 0,x2+y2=0 二圆回
四、多元函数的连续性 定义3 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D 内有定义， 是D的内点或边界点且 . 如果 则称函数f(x,y)在点 连续. 若函数f(x,y)在点 不连续，则称 为 函数f(x,y)的间短点. 函数 P0 D 0 0 0 0 lim ( , ) ( , ) x x y y f x y f x y P0 2 2 2 2 2 2 , 0 ( , ) 0, xy x y f x y x y x y =0 0 0 0 P (x , y ) 0 0 0 P (x , y ) 0 0 0 P (x , y ) 上一页 下一页 返 回
当x→0,y→0时的极限不存在,所以点(0,0)是 该函数的一个间断点 函数 SIn x2+y2-1 →在圆周x2+y2=1上没有定义,所以该圆周上各 点都是间断点,是一条曲线 性质1(最大值和最小值定理)在有界闭区 域D上的多元连续函数,在D上一定有最大值和 最小值 在D上至少有一点P及一点P,使得f(P)为最 大值而f(2)为最小值,即对于一切P∈D,有 圆國圖回
当x→0,y→0时的极限不存在，所以点(0,0)是 该函数的一个间断点. 函数 在圆周 上没有定义，所以该圆周上各 点都是间断点，是一条曲线. 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区 域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和 最小值. 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最 大值而 为最小值，即对于一切P∈D，有 2 2 1 sin 1 z x y 2 2 x y 1 P1 P2 1 f (P) 2 f (P ) 上一页 下一页 返 回
f(P2)≤f(P)≤∫() 性质2(介值定理)在有界闭区域D上的多元 函数,如果在D上取得两个不同的函数值,则它 在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 如果μ是函数在D上的最小值m和最大值M之间 的一个数,则在D上至少有一点Q,使得f(0)= *性质3(一致连续性定理)在有界闭区域上 的多元连续函数必定在D上一致连续 若f(P)在有界闭区域D上连续,那么对于任意 。给定的正数ε,总存在正数δ,使得对于D上的 圆國圖回
性质2(介值定理) 在有界闭区域D上的多元 函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它 在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 如果μ是函数在D上的最小值m和最大值M之间 的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=μ. *性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域上 的多元连续函数必定在D上一致连续. 若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意 给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于D上的 2 1 f (P ) f (P) f (P) 上一页 下一页 返 回