《运筹学》课程教学资源（教材辅导）运筹学全程导学及习题全解PDF电子版（清华大学第三版，主编：张晋东、孙成功）

运筹学同步辅导及习题全解 5x1+3x1+x3+x4 =9 -5.x1+6x2+15x4 十5 =15 21+x2+x -x6+x=5 xx4x6,≥0 其中M是一个任意大的正数。据此可列出单纯形表表1一12： 表1-12 10 1512 0 0 0 -M Ca b 2 T3 I5 1T 0 9 [5] 3 1 1 0 0 0 9/5 15 -5 15 0 5 2 1 0 0 -1 10+2M15+M12+M 0 0 -M 0 10 9/5 1 3/5 1/5 1/5 0 0 0 24 0 9 [16] 1 0 3/2 -M 7/5 0 -1/5 3/5 -2/5 0 -1 1 713 0 9- 1o+ -2- 0 M 0 3/2 39/80 3/16 -1/80 3/2 9/16 1 1/16 1/16 0 -M 1/2 0 -43/80 0 -7/16 -3/80 -1 一彩 0 -0 -；-M 0 由单纯形表的最终表可以看出，所有非基变量检验数，<0，且存在人工变量 =2,故原线性规划问题无可行解 解2：两阶段法。 在上述线性规划问题的第一、二个约束条件中分别加上松弛变量4，在第三 个约束条件中减去剩余变量x。,再加上人工变量工，得第一阶段的数学模型 min w=r 5m1十3x2+x十x4 =9 -5.x1+6x2+15.x1+x5 =15 2x1十xx十x3 x6+x=5 x1x2,x,x4,x5,x6,x7≥0 据此可列出单纯形表表1一13： 表1-13 0 0 0 0 0 0 1 96 15 20

0123456789:; ;&!2$&#2 &$2&/ *< 8;&!2=&#2!;&$ 2&; *!; #&!2 &#2 &$ 8&=2&?*; &!$&#$&$$&/$&;$&=$&?$ % & ’ + 23 / ¥-ššþäpí(’ÁbY¿wI•/¯¯!8!## ¯!8!# %# !+ !; !# + + + 8/ 98 18 ) &! &# &$ &/ &; &= &? "( + &/ < /;0 $ ! ! + + + <-; + &; !; 8; = !; + ! + + ) 8/ &? ; # ! ! + + 8! ! ;-# %#8!# !+2#/ !;2/ !#2/ + + 8/ + !+ &! <-; ! $-; !-; !-; + + + < + &; #/ + < /!=0 ! ! + + $-# 8/ &? ?-; + 8!-; $-; 8#-; + 8! ! ?-$ %#8!# + <8 / ; !+2$/ ; 8#8#/ ; + 8/ + !+ &! $-# ! $<->+ + $-!= 8!->+ + + !# &$ $-# + <-!= ! !-!= !-!= + + 8/ &? !-# + 8/$->+ + 8?-!= 8$->+ 8! ! %#8!# + #? > 8/$/ >+ + 8 #! > 8?/ != 8 ; > 8$/ >+ 8/ + gI•/¯p}Ù¯YZvw$µj´q#$°±(!#1+$k£\Þ5#$ &?*! #$isMN@OPQ~Y‚F’ F##ÚÛÜG’ \_;MN@OPQpÒ-,gš)*+,3àUÝ_§¨#$&/$&;$\ÒE š)*+,3¶ñ·Ó#$&=$ÄÝ_Þ5#$&?$¸Ò-ÛÜp(VW=# %().*&? ,"-" ;&!2$&#2 &$2&/ *< 8;&!2=&#2!;&$ 2&; *!; #&!2 &#2 &$8 &=2&?*; &!$&#$&$$&/$&;$&=$&?$ % & ’ + ÁbY¿wI•/¯¯!8!$# ¯!8!$ %# + + + + + + ! 98 18 ) &! &# &$ &/ &; &= &? "( + &/ < /;0 $ ! ! + + + <-; + &; !; 8; = !; + ! + + ) ("*(

第一章线性规划与单纯形法 0 0 0 0 0 0 1 Ca Xa 1 5 1 0 0 -1 1 5/2 一 -2-1 -1 0 0 1 0 0 9/5 1 3/5 1/5 1/5 0 0 0 24 0 9 [16] 0 0 3/2 -1/5 3/5 -2/5 0 -1 713 -1/5 3/5 -2/5 0 1 0 3/2 39/80 3/16 -1/80 3/2 9/16 1/16 1/16 1 1/2 0 -43/80 0 -7/16 -3/80 1 0 C=, 043/80 0 7/163/80 1 0 第一阶段求得最优解X·=(号，0，号，0,0,0，).因人工变量=之≠0，且非 基变量检验数，>0，所以原线性规划问题无可行解。 (4)解1：大M法。 在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量4，x6,x,再加上人工变量 ,得 maXx=2x1-x2+2xs十0x4-Mx5十0x6-Mx1+0xs-Mxg 〔x1十x红十x3-x,+x6=6 -2x1十x3-x6十x=2 s.t. 2x2-x8十xy=0 46x≥0 其中M是一个任意大的正数。据此可列出单纯形表表1一14： 表1-14 M 0 M 0 -M 2 5 6 7 -M [21 -1 -1 -M 3M- 2+M 0 3/2 /2 L1] -1 1/2 -1/2 0 3 [4] 3/2 -3/21/2 -1/2 3/4 ·21·

A*B !"#$%&’() %# + + + + + + ! 98 18 ) &! &# &$ &/ &; &= &? "( ! &? ; # ! ! + + 8! ! ;-# %#8!# 8# 8! 8! + + ! + + &! <-; ! $-; !-; !-; + + + < + &; #/ + < /!=0 ! ! + + $-# ! &? ?-; + 8!-; $-; 8#-; + 8! ! ?-$ %#8!# + 8!-; $-; 8#-; + ! + + &! $-# ! $<->+ + $-!= 8!->+ + + + &$ $-# + <-!= ! !-!= !-!= + + ! &? !-# + 8/$->+ + 8?-!= 8$->+ ! + %#8!# + /$->+ + ?-!= $->+ ! + Ò-ÛÜL¸}BF 12 *!$ #$+$$ #$+$+$+$! #"3’QÞ5#$&?*! #4+$k´ q#$°±(!#(+$µZsMN@OPQ~Y‚F’ !/"F!#ä / G’ \_;MN@OPQp)*+,3àU¶ñ·Ó#$ &/$&=$&>$ÄÝ_Þ5#$ &;$&?$&<$¸ %&’!*#&!8&#2#&$2+&/8/&;2+&=8/&?2+&>8/&< ,"-" &!2&#2&$8&/2&;*= 8#&!2&$8&=2&?*# #&#8&$8&>2&<*+ &!$&#$&$$&/$&;$&=$&?$&>$&<$ % & ’ + 23 / ¥-ššþäpí(’ÁbY¿wI•/¯¯!8!/# ¯!8!/ %# # 8! # + 8/ + 8/ + 8/ 98 18 ) &! &# &$ &/ &; &= &? &> &< "( 8/ &; = ! ! ! 8! ! + + + + = 8/ &? # 8# + ! + + 8! ! + + ) 8/ &< + + /#0 8! + + + + 8! ! + %#8!# #8/ $/8! #2/ 8/ + 8/ + 8/ + 8/ &; = ! + $-# 8! ! + + !-# 8!-# / 8/ &? # 8# + /!0 + + 8! ! + + # 8! &# + + ! 8!-# + + + + 8!-# !-# ) %#8!# #8/ + ;/ # 2 $ # 8/ + 8/ + / # 8 ! # ! # 8$/ # 8/ &; $ //0 + + 8! ! $-# 8$-# !-# 8!-# $-/ ("!(

运筹学同步辅导及习题全解 1/2 3/4 /8 1/8 7/2 12 / -1/ -1 -1/4 1/4 -1/8 1/8 -3/8 3/8 0 0 054-M4-3/8g-M-9/8号-M 由单纯形表的计算结果可以看出，：>0且a<0(i=1,2,3),所以该线性规划问题有 无界解。 解2：两阶段法。 先在上述线性规划问题的约束条件中分别减去剩余变量4，x6,x4,再加上人工变量 x,x,x,得第一阶段的数学模型 minw=x+x,十x 1+x2+x-x+x3=6 -2x1十x3-x6十x,=2 s.t. 2x2-x-xs十x=0 x3,x6,x1,g,x≥0 据此可列出单纯形表表1-15： 表1-15 1 0 1 0 1 X [2 1 0 0 6 1/2 -1/2 12 -1/2 1/2 G-3 5/2 -1/2 3/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 22

0123456789:; %# # 8! # + 8/ + 8/ + 8/ 98 18 ) &! &# &$ &/ &; &= &? &> &< "( # &$ # 8# + ! + + 8! ! + + ) 8! &# ! 8! ! + + + 8!-# !-# 8!-# !-# ) %#8!# //2; + + 8/ + $/ # 2 $ # 8;/ # 8 $ # / # 8 ! # ! # 8$/ # # &! $-/ ! + + 8!-/ !-/ $-> 8$-> !-> 8!-> # &$ ?-# + + ! 8!-# !-# 8!-/ !-/ !-/ 8!-/ 8! &# ?-/ + ! + 8!-/ !-/ 8!-> !-> 8$-> $-> %#8!# + + + ;-/ 8/8 ; / 8$-> $ > 8/ 8<-> < > 8/ gI•/¯p¹º©%YZvw$!/(+k’(/1+!(*!$#$$"$µZ/MN@OPQj ~„F’ F##ÚÛÜG’ ¸\_;MN@OPQp)*+,3àU¶ñ·Ó#$&/$&=$&>$ÄÝ_Þ5#$ &;$&?$&<$¸Ò-ÛÜp(VW= %().*&;2&?2&< ,"-" &!2&#2&$8&/2&;*= 8#&!2&$8&=2&?*# #&#8&$8&>2&<*+ &!$&#$&$$&/$&;$&=$&?$&>$&<$ % & ’ + ÁbY¿wI•/¯¯!8!;# ¯!8!; %# + + + + ! + ! + ! 98 18 ) &! &# &$ &/ &; &= &? &> &< "( ! &; = ! ! ! 8! ! + + + + = ! &? # 8# + ! + + 8! ! + + ) ! &< + + /#0 8! + + + + 8! ! + %#8!# ! 8$ 8! ! + ! + ! + ! &; = ! + $-# 8! ! + + !-# 8!-# / ! &? # 8# + /!0 + + 8! ! + + # + &# + + ! 8!-# + + + + 8!-# !-# ) %#8!# ! + 8;-# ! + 8! + 8!-# $-# ! &; $ //0 + + 8! ! $-# 8$-# !-# 8!-# $-/ + &$ # 8# + ! + + 8! ! + + ) + &# ! 8! ! + + + 8!-# !-# 8!-# !-# ) (""(

第一章线性规划与单纯形法 0 0 0 0 1 0 0 T: 0 0 -3/25/2 -1/2 3/2 0 3/4 -1/A 1/A 3/8 3/8 1/8 -1/8 0 7/2 -1/2 1/2 1/4 1/A -1/A 0 x7/4 -1/41/4 -1/81/8 -3/8 3/8 9-3 0 0 0 0 1 0 1 0 第一阶段求得的最优解X=(，子，0,0,0,0,0,0)，目标函数的最优值 w'=0。 因人工变量===0，所以（是子，名0.0,00,00）7是原线性规划问题的基 可行解。于是可以进行第二阶段运算。将第一阶段的最终表中的人工变量取消，并 填入原问题的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见表1一16。 表1-16 0 0 3/4 1/4 3/8 1/4 -1/4 1/8 -3/8 一 5/4 -3/8 -9/8 由表中计算可知，o:>0且aa<0(i=1,2,3),所以原线性规划问题有无界解。 小结大M法和两阶段法都是人工变量法。 ⊙1.刁求下述线性规划问题目标函数之的上界·和下界 maxz=G1x1十cx2 a1x1十a1zx≤b a21x1十a:x≤b ≥0 其中：1≤1≤3,4≤c2≤6,8≤h≤12,10≤b2≤14，-1≤a1≤3,2≤a2≤5,2≤ an≤4,4≤a2z≤6 分析先求出与三·和Σ相对应的线性规划模型，再用单纯形法求解。 解之的上界·可由如下的线性规划模型求得 max s=3x1+6r /-x+2x2≤12 2x1+4x2≤14 x,n≥0 在上述问题的第一个约束条件中加入松弛变量x3,第二个约束条件左右两边同时除 ·23

A*B !"#$%&’() %# + + + + ! + ! + ! 98 18 ) &! &# &$ &/ &; &= &? &> &< "( %#8!# 8/ + + ! + 8$-# ;-# 8!-# $-# + &! $-/ ! + + 8!-/ !-/ $-> 8$-> !-> 8!-> + &$ ?-# + + ! 8!-# !-# 8!-/ !-/ !-/ 8!-/ + &# ?-/ + ! + 8!-/ !-/ 8!-> !-> 8$-> $-> %#8!# + + + + ! + ! + ! Ò-ÛÜL¸p } B F 12 * !$ /$? /$? #$+$+$+$+$+$+"3$% & ’ ( p } B ; .2 *+’ QÞ5#$&;*&?*&<*+$µZ!$ /$? /$? #$+$+$+$+$+$+"3 ¥sMN@OPQpq Y‚F’f¥YZ͂ÒgÛÜɺ’UÒ-ÛÜp}Ù¯3pÞ5#$a¹$Ô ºÃsPQp%&’(p7($͂ÒgÛÜpɺ$›¯!8!=’ ¯!8!= %# # 8! # + + + 98 18 ) &! &# &$ &/ &= &> "( # &! $-/ ! + + 8!-/ $-> !-> # &$ ?-# + + ! 8!-# 8!-/ !-/ 8! &# ?-/ + ! + 8!-/ 8!-> 8$-> %#8!# + + + ;-/ 8$-> 8<-> g¯3¹ºY$!/(+k’(/1+!(*!$#$$"$µZsMN@OPQj~„F’ OP ä / G3ÚÛÜGç¥Þ5#$G’ +!$( L¾;MN@OPQ%&’(!p_„!2 3¾„!2 %&’!*%!&!2%#&# ’!!&!2’!#&##)! ’#!&!2’##&##)# &!$&#$ % & ’ + 23#!#%!#$$/#%##=$>#)!#!#$!+#)##!/$8!#’!!#$$##’!##;$## ’#!#/$/#’###= KL ¸Lw¨!2 3!2  ª«pMN@OW=$ÄeI•/GLF’ ; !p_„!2 Yg$¾pMN@OW=L¸ %&’!*$&!2=&# 8&!2#&##!# #&!2/&##!/ &!$&#$ % & ’ + \_;PQpÒ-š)*+,3Ýç¨#$&$$Ògš)*+,»eڒRð ("#(

运筹学同步辅导及习题全解 以2再加入松弛变量x,得该线性规划问题的标准型 maX之=3x1十6x2十0x3十0.x /-1+2x2+x=12 x1+2x2十x=7 西x2,3≥0 由线性规划问题的标准型可列出初始单纯形表逐步迭代，计算结果如表1一17所示。 表1-17 Ci 3 6 0 0 Xa n : [2] 7/2 3 6 0 5 -2 0 /2 /2 0 1/2 0 0 0 -3 由表中计算可知，该线性规划问题的最优解X·=(0,?,50),目标函数：的上界 =x=6× 2-21.由于存在非基变量检验数1=0，故该线性规划问题有无穷多 最优解。 之的下界之可由如下的线性规划模型求得 max之=x1+4rg 3x1+5x2≤8 s.t.4x1+6x2≤10 x1,x2≥0 在上述问题的第一个约束条件中加入松弛变量x,第二个约束条件左右两边同时除 以2再加入松弛变量x:,得该线性规划问题的标准型 max之=1+4x2+0x1+0x4 3x1+5x2+x1 =8 s.t.2x1+3x +x4=5 x≥0 由线性规划问题的标准型可列出初始单纯形表逐步迭代，计算结果如表1一18所示。 表1-18 1 4 0 0 X b I 0 [5] 8/5 0 5/3 1 ·24

0123456789:; Z#ÄÝç¨#$&/$¸/MN@OPQp&<= %&’!*$&!2=&#2+&$2+&/ 8&!2#&#2&$*!# &!2#&#2&/*? &!$&#$&$$&/$ % & ’ + gMN@OPQp&<=Y¿w­œI•/¯•…¢œ$¹º©%$¯!8!?µ‹’ ¯!8!? %# $ = + + 98 18 ) &! &# &$ &/ "( + &$ !# 8! # ! + = + &/ ? ! /#0 + ! ?-# %#8!# $ = + + + &$ ; 8# + ! 8! = &# ?-# !-# ! + !-# %#8!# + + + 8$ g¯3¹ºY$/MN@OPQp}BF 12 *!+$? #$;$+"3$%&’(!p_„ !2 *!2 *=:? #*#!’gf£\´q#$°±(!!*+$i/MN@OPQj~€ }BF’ !p¾„!2 Yg$¾pMN@OW=L¸ %&’!*&!2/&# ,"-" $&!2;&##> /&!2=&##!+ &!$&#$ % & ’ + \_;PQpÒ-š)*+,3Ýç¨#$&$$Ògš)*+,»eڒRð Z#ÄÝç¨#$&/$¸/MN@OPQp&<= %&’!*&!2/&#2+&$2+&/ ,"-" $&!2;&#2&$ *> #&!2$&# 2&/*; &!$&#$&$$&/$ % & ’ + gMN@OPQp&<=Y¿w­œI•/¯•…¢œ$¹º©%$¯!8!>µ‹’ ¯!8!> %# ! / + + 98 18 ) &! &# &$ &/ "( + &$ > $ /;0 ! + >-; + &/ ; # $ + ! ;-$ %#8!# ! / + + ("$(