196 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 、模型的假设 I、假设开始所加入的洗涤剂足够,即在充分搅动后完全溶解并足以使污物和衣物分 离.同时,在漂洗液中污物是均匀分布的 Il、当模型得到的最小用水量远低于洗衣机的最低用水量时,认为此时的讨论没有意 Il水的浊度与水中污物的浓度成正比 三、模型的建立 (一)对影响洗涤效果的因素分析 通常人们对于漂洗效果的直观判据就是漂洗水的清澈程度.为把这种直观感觉定量 化,我们引用了“浊度”这一概念.“浊度表现了水中悬浮物对光线透过时所发生的阻碍程 度”一个浊度单位规定为“1升蒸馏水中含有一毫克二氧化硅所构成的混浊度".我们对 洗衣机的实际洗衣过程中各阶段排出的污水进行了取样测定,得到不同水样的浊度,如下 表2 表2 水样 浊度 很赃的洗涤水 00-3500 比较赃的洗涤水 1500~2500 感觉“已漂洗干净了”的漂洗水 根据表2,我们把所要研究的问题确定为“洗涤时污水浊度在2500~3500度的额定量 衣物需经几次漂洗,每次至少用水多少,才能使漂洗水浊度降至≤30?” 为了求出需要漂洗几次才能把漂洗水浊度降至30以下,我们先测出单位重量衣物的 吸水率:a=3,这里Y和A分别代表衣物的干重和漂洗脱水后吸附在衣物上的水的重 量,对于棉毛衣物,a约为0.38,对于化纤和丝绸衣物,a约为0.15.(见附录) 如果脱水后衣物上留存的污物完全来自它所吸附的那些污水,则再次加入体积为W 的清水并充分漂洗后,水的浊度应为 P=w,(P为漂洗水的浊度) 按此公式计算,只需换一次水,就应能使水的浊度从1500降至30以下(W取36升,A取0 7升).然而事实并非如此:漂洗一遍后,水的浊度看上去远大于30.显然,把衣物上残留的 污物看成完全来自所吸附的污水是不妥的.这促使我们想到,在脱水时,脱水桶带动衣物 高速旋转,脱水桶中的水全部(除去衣物吸附的水以外)都要透过衣物甩出去,在此过程 中,作为悬浮物的污物将有一部分被衣物纤维过滤下来,留在衣物上,使脱水后衣物上污 物的残留量远大于预想值 为证实这一想法,我们做了这样的实验 对洗涤液取样,然后把衣物从洗涤液中取出,略为拧干后放入脱水桶脱水,并对脱水 时由衣物中甩出的水取样.化验两种样品的污物含量,得到了差别很大的结果.对漂洗水
关于洗衣机节水的数学模型 197 做了相同的实验,也得到了类似的结果.这些结果见表3 表3 单位体积水中的污物量/(mg1) 洗涤液 1410.91 脱水甩出的洗涤液 567.27 次涤洗液 脱水甩出的 涤液 32.79 二次洗涤液 脱水甩出的二次洗涤液 从表3可以看到,衣物在脱水时,会对水中悬浮物有明显的过滤作用.为描述衣物的 过滤效应,我们定义过滤系数 脱水后衣物含污量 进入脱水捅的 物量 k值根据一定的关系和实验数据可确定下来 (详细求解过程见附录).对于一般的棉、毛衣 物,k=0.64 计人过滤效应后,每次漂洗过程导致的衣物中的污物量的下降情况可用下式描述 s- RhyS 其中S′为各次漂洗前衣物中的污物量,S为漂洗脱水以后衣物中的污物量,W为漂洗过程 中所加的水的量,bY为Y公斤干衣浸湿后所带的水 (二)漂洗过程中浊度变化的数学描述 由假设Ⅲl可设 P 这样,我们可从污物的浓度变化得知污水的浊度的变化 我们以衣物中的污物量为中间变量,导出第n次漂洗液的浊度与洗涤原液的浊度之间 的关系 设S0为衣物洗涤前所含的总污物量,P0为洗涤原液的浊度.第一次洗涤脱水后污渍 余量 So= kbY Po khYaPt 第一次加入水漂洗,脱水后污渍余量 K SI W1+ A W,+A 第二次加入水漂洗,脱水后污渍余量 kb'Y aPo S2=kw,+A51=(W1+A)(W2+A) 第n次加入水漂洗,脱水后污渍余量 W.+A
198 全国大学生数学建模竞赛优秀论文汇编 k甲+1b”+1ym+1 (W1+A)(W2+A(w,+A) 第n次漂洗后的浓度 k b"YaPo W+A (WI+A)(W2+A).(W,+A) 其值应不大于P0,即pn≤P,因为Po=ap0,P=ap0,所以本问题即求 mn(∑W) Pn≤Pb 求解:对于固定的n值,求min(∑W)求mn(∑(W+A) (W2+A)≥n(W1+A)(W2+A…(Wn ≥nkbY 所以 W≥nkbY nA 当且仅当W1=W2=…=W,时,∑W取最小值nkbY nA,此时W=bY P A(i=1,2 四、模型分析 (一)代入数据求解 由附录知 b=1.87,k=0.64,Pb=2700, Po=30度,Y=2kg,A=0.37×2 当n=2时 W;=0.64·1.87·2·√90-0.37·2=21.97L UM(W)=2·W=43.94(1 当n=3时,W1=0.64·1.87·2·√90-0.37·2=9.99(L),最低水位,故无意义 (二)结论 对于一般赃的衣物,只需洗涤一次,漂洗二次,对于两公斤衣物,每次漂洗用水21.97 升,即可达到满意效果 五、模型运用 通过以上分析,我们对厂方有如下建议 (1)厂家宜生产多水位控制状态的节水型洗衣机;
关于洗衣机节水的数学模型 (2)改波轮式洗衣机为生产滚筒式洗衣机,尽量减少最小水量 六、模型的评价 我们的模型完全建立在实验的基础上.由于时间紧迫,我们来不及取得更多的实验数 据来减小数据的误差,因此导出的结果会有一定的不准确性,但无论如何,我们的模型来 源于实验,必然对实践有一定的指导意义 参考文献 1]奚旦立等,环境监测,高等教育出版社,北京,1987,p38 过滤系数k的推导 Qo:脱水前,湿衣所含水重(kg),Q1脱水后,甩出的水重(kg), Q2:脱水后,湿衣剩余水重(kg),p:漂洗前,洗涤原液浓度(mgh1), P1脱水后,排出水浓度(mg1),S=PoQo:甩前湿衣总的含污量(g), S1:第i次脱水后衣物含污量(g), 在脱水前,衣物含污量为:p0Q;在脱水后,甩出的水中含污量为:p1Q1;在脱水后 衣物中含污量为:p0Qo-p1Q 我们假设Qa,Q2均与Y成正比,即Q0=bY,Q2=aY,所以,Q1=Q0-Q2=(b a)Y.由实验测得,a=0.38(对于一般毛织物),0.15(对于化纤丝绸);b=1.87 水后衣物含污量 前衣物含污量 (0Q0-p1Q)1=1-(b-a)0.64 化化…… 上接第190页) 概而言之,无论是科学的技术还是社会的需要都显著地比过去更为复杂。理解新的需求 新的系统以及预测并控制它们的行为的能力将要求两个要素:i)新的数学思想和方法, 与关注它们并积极活动的专业科学家、工程师、计算机科学家以及从医学到公共政策相 的专业人员的所有群体之间的更为有效的合作。 摘译自1998年3月美国科学基金会(NSF)公布的调研报告: Report of the Senior ment Panel for the International Assessment of the U. S. Mathematical Sciences(oF i if 小组对美国的数学科学的国际评估报告)
洗衣机的节水优化模型 张斌珍何继青莫展 (华北工学院,太原0300051) 指导教师杨明 编者按本文在把洗衣过程简化为一次性溶解、多次稀释的前提下,紧紧抓住每轮加水 脱水时污物浓度的变化来建模,叙述简明,求解(最优加水和轮数)过程清晰扼要,模型检验和应 用部分也颇具特色 文中建立的“动态规划模型”、“多阶段决策模型”,实际上用的仍是静态规划模型 摘要本文通过分析洗衣机的洗衣过程,认为是一次性溶解、多次稀释的过程据此建 立动态规划模型,并利用选代公式和最优化原理,得出最少用水量的判断公式和代数解以海棠 洗衣机为例,通过对比,利用我们的模型算出的用水量比厂家提供的数据要小,从而说明所建模 型的优越性最后,根据模型解,给出最小用水量与赃衣服的重量的关系图,并从中得出有趣的 结论,也给厂家提供一个节约用水的程序 、基本假设及说明 1.洗衣机一次用水量有最高限和最低限,能连续补充在限度内的任意水量 2.洗衣机每轮运行过程为:加水一漂洗一脱水 3.仅在第一轮运行时加上洗涤剂,在后面的运行轮中仅有稀释作用 洗衣时所加的洗涤剂适量,漂洗时间足够,能使污垢一次溶解,忽略不能溶解的污 5.脱水后的衣服质量与干衣服的重量成正比 6.每缸洗衣水只用一次 二、符号和变量说明 A0:污物的质量(kg); 第i次运行时污物浓度(kg/升); 洗衣服时洗衣机运行轮数(次); x:第;轮用水量(升) M:干衣服的质量(kg) m:衣服脱水后衣服含水质量(kg); E:衣服的清洁度(常量,洗净的衣服上污量与A之比); S:洗一次衣服总用水量(升); 洗衣机一次洗衣的最大量(kg) a:脱水后衣服含水质量与干衣服质量比(常数); Vmx:洗衣机一次注水最高限(升); Vn:衣服完全浸泡的状态下为使洗衣机能正常运行需注入的最低水量(升);