定理3设A为n阶对称矩阵4是A的特征方程的r 重根则矩阵A-E的秩R(A-E)=n-r,从而 对应特征值A怡有r个线性无关的特征向量 定理4设4为n阶对称矩阵则必有正交矩陶P,使 PAP=A,其中A是以A的n个特征值为对角元 上素的对角矩阵 证明设4的互不相等的特征值为1,2 王它们的重数依次为2(+万+十7= 根据定理1(对称矩阵的特征值为实数)和定 理3(如上)可得: 上页
. , 4 , , 1 素的对角矩阵 其 中 是 以 的 个特征值为对角元 定 理 设 为 阶对称矩阵 则必有正交矩阵 使 P AP A n A n P = − 证明 , , , , 1 2 s 它们的重数依次为 s r ,r , ,r 1 2 . , ( ) , 3 , 对应特征值 恰 有 个线性无关的特征向量 重 根 则矩阵 的 秩 从 而 定 理 设 为 阶对称矩阵 是 的特征方程的 r A E R A E n r A n A r − − = − ( ). r1 + r2 + + rs = n 根据定理1（对称矩阵的特征值为实数）和定 理3( 如上)可得： 设 A 的互不相等的特征值为
对应特征值元;(i=1,2,…,s,恰有r个线性无 关的实特征向量,把它们正交化并单位化即得r个 单位正交的特征向量.由r+n2+…+r,=n知, 这样的特征向量共可得n个 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交, 故这n个单位特征向量两两正交 以它们为列向量构成正交矩阵P,则 PAP=PPA=A 牛其中对角矩阵A的对角元素含个4,…,个,恰 是A的n个特征值 上页
, 由r1 + r2 ++ rs = n知 由定理2知对应于不同特征值的特征向量正交， . , , ( 1,2, , ), 单位正交的特征向量 关的实特征向量 把它们正交化并单位化 即得 个 对应特征值 恰有 个线性无 r i s r i i = i = = − − P AP P P 1 1 . , , , 1 1 是 的 个特征值 其中对角矩阵 的对角元素含 个 个 恰 A n r r s s 这样的特征向量共可得 n 个. 故这 n 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 P ，则