复变函数与积分变换lim f()=ao成立.2.极点设=为函数f（）的极点.若f(）在0<一<内罗朗展开式为1f(z)a(zz）"（m≥1,am0)则称为f（）的m级极点上式可写成1f(2) :(4.22)(2—2)mg(2)其中+p(）=a-m十a-m+l（—+a-r(α-zo）m-l+al(α20)+m(）在【<内解析且（）0.反之，若存在—<内解析且在。处函数值不为零的函数（）使得（4.22）式成立，则容易看出是f（z）的m级极点.根据（4.12）式和（4.22）式，不难发现函数的零点和极点有下面的关系.定理4.13如果是f（）的m级极点，那么就是的f()级零点：反过来也成立例如，对函数f（）=（+1)（—1)来说，=1为它的一个三级极点，2=一1为它的一个二级极点.而它们又分别是的三级和二级f(&)零点.另外，从（4.22）式还得到，若2为f（）的极点，则lim f(z)=00..3.本性奇点若为f(）的本性奇点，则它在0<一<内的罗朗展开式中含有无穷多个之一。的负幕项，它不能像前面两种情况那样可以转化为解析函数和用（4.22）式的式子来表示.当→时，f（）的变化也相当复杂.下面的定理说明此种事实，定理4.14如果。为函数（）的本性奇点，那么对于任意给定.86
第4章解析函数的级数表示法的复数A，总可以找到一个趋于的数列使得limf(-A证明从略。例如，函数f（）=e在=0处的罗朗级数为.++et =1+I +21n!因而=0为本性奇点，对给定复数1有复数列2元+20元1,2）存在，当n→0时，0且f(2）=e±=e(++m）=i，故lim f(z)=i.综上所述，在F（）的孤立奇点之。的邻域中，按可去奇点、极点、本性奇点的顺次有出版社（1）limf（z）=有限数：(2) lim f(z) = 00;（3）limf（z）不存在.其逆亦成立.事实上，若2为f（2）的孤立奇点且lim f(z)为有限数，则可以肯定2。不是极点和本性极点，因而2为可去奇点.同理可根据（2）和（3）来断定孤立奇点2。必为极点或本性奇点.这就是说，我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型。4.函数在无穷远点的性质上面讨论的是孤立奇点为有限点的情形，现在讨论孤立奇点为无穷远点的情形如果函数f（）在无穷远点=α的去心邻域R<|<十内解1,记析，那么称点为f（2）的孤立奇点.在这种情况下，做变换之二Lg(t) =f(),则g(t)在0<lt/<方中解析，即t=0是g(t）的孤立奇点.这样我们就可以把在去心邻域R<「<十内对函数f(z）的研究化为去心邻域0<tl<内对函数g（t)的研究.R很自然地，我们规定：如果！=0是g（t）的可去奇点.m级极点或本性奇点，那么就称点=o是f（）的可去奇点，m级极点或本性奇点因为g(t)在原点的邻域内有罗朗展开：H
复变函数与积分变换g() =at* (0<1 l<)所以f(z）在R<<+α中有下面的罗朗展开：f(2)= b,2 (R<1 2/<+00),(4.23)其中b，=a-,n=0，土1，土2，）.类似于定理4.12有上(4.24)（n=0，±1，±2,...）,b,-2元9+其中C为圆环域R<l<十8内绕原点的任何一条正向简单闭曲线根据前面的规定，我们有：如果在级数（4.23）中，（1）不含正幂项8为可去奇点一limf（）存在；（2）含有限多个正幂项，且为最高正幂一80为m级极点一limf()=00;（3）含有无穷多正幂项一α0为本性奇点一limf（）不存在，例4.8函数(）=（—1)(—2)在扩充的复平面有无奇点？是什么类型？若是极点，求出(sin元之)其级，解函数有奇点0，土1，士2.和0.这是因为函数在这些点无定义，所以是奇点(1）=0是sin元之的一级零点，从而是(sinz)4的四级零点，但它又是分子e一1的一级零点，故之一0是函数的三级极点。(2）同(1)，±12.+3.…是函数的四级极点（3）因为2lim(e—1) . lim(lim f(z)=lim(e—1)(sin元z(sin元2=(e1)/元,所以，2一2是可去奇点，（4）关于2-80，因为f()= (et -1)(1-20)t(sin)一（n=1,2.…）均为上式的奇点，显然当n—0时，t→0，所以t=0不是所以10.tf（一）的孤立奇点，也就是说2=0不是f(2）的孤立奇点.88
第4章解析函数的级数表示法小结复级数的敛散性定义和实级数的敛散性定义完全类似，都是相应的部分和数列收敛或发散.如果级数「an|收敛，我们称为绝对收敛.如果级数「a,「发散，但级数a收敛，称级数为条件收敛.复级数的敛散性可转化为实级数的敛散性讨论，即复级数a，收敛-的充分必要条件是对应的实部和虚部组成的级数α和β都收敛，其中a.=αi%.这样关于实级数的收敛性判别方法，完全可以用于复级数的收敛判别问题.特别是讨论级数的绝对收敛性可以转化为对一个正项级数的收敛判别反映幂级数a（一）”收敛性的定理是阿贝尔定理，该定理告诉我们幂级数的收敛域为：（1）仅在名。点收敛.此时收敛半径为零：（2）在以为圆心，大于零的实数R为半径的圆盘/<R内收敛，收敛半径为有限数R；（3）在整个复平面上收敛，收敛半径为十下列公式给出了一部分幂级数的收敛半径的计算，（1）比值公式：如果lim当p0时，则R=当-0时，则R=+；当=十时，则R=0.P（2）根值公式：如果lim/aT=p,一，当=0时，则R=十0；当p=十0时，则R=0当p≠0时，则R=0幂级数的和函数在收敛域内是一个解析函数，而目可以逐项求导数，对于收敛域内的任何一条曲线，积分可以逐项计算，如果f（）在圆盘「一2|R内解析，则在此圆盘内可以展开成幂级数，即()(2-20)",f(2) =n!并称它为f（z）在2。点的泰勒展开式，上式右端的级数称为f（z）在20点的泰勒级数.将二个函数展开为泰勒级数常用的方法有直接展开法和间接展开法，1.直接展开法通过公式89
复变函数与积分变换an=F"(z)(n=0.1.2,.)n!来计算系数2.间接展开法利用一些已知的展开式，结合解析函数的性质及幂级数的运算性质。一些数学方法，如代换法、部分分式法、逐项求导法、逐项积分法等是经常使用的方法应用函数的泰勒展开式，我们知道，不为常数的解析函数的零点是孤立的，而且如果是函数f（）的m级零点，则在2。的邻域内解析函数f（）=（一）"（）,其中（2）在2)点解析，且9（。）半0.如果函数f（）在圆环r<|一R内解析，那么函数f（）有罗朗级数f(z) =2a,(z-z0)" (r<lz-z /<R),其中1 ff(e).-de.-.这里C为圆环r<|一|<R内任何一条绕。的正向简单闭曲线.求一个在圆环内解析的函数的罗朗级数的方法与泰勒级数的方法相似常用的方法为直接法和间接法，在求罗朗级数时，更多地利用间接法.要注意的是，在圆环内导数公式f(a) -1 ff()2元9#-20)den!X不再成立.同时，一个函数在同一个圆环内的罗朗级数是唯一的（不论用什么方法得到这个展开式），但是，在不同的圆环内的展开式可以是不同的，应用解析函数的罗朗展开式，我们可以研究解析函数的孤立奇点的性质.如果函数f（2）在的去心邻域内的罗朗展开式为f() = Za-(α-2)-" + 2a(z)",则我们可以把孤立奇点分成3类：不含之一的负幂项，称为可去奇点：含有限之一的负幂项，称为极点；含无穷项一2。的负幂项，称为本性奇点.3类奇点分别对应函数的极限：limf（z）存在为有限；limf（z）=oo；limf（z）不存在.解析函数的极点与零点之间有很好的+4对应关系，。为函数了（）的㎡级零点的充分必要条件是之。为函数的m级极点。f(z)若函数在无穷远点的去心邻域R<||<十o内解析，则称为函数的孤立奇点.规定f（）在8o点处的性态就是（t)=f（一在t=0点的性态，即是，若t=0为t）的可去奇点、m级极点或本性奇点，则称为函数f（）的可去奇点、m级极点或本性奇点.3类奇点分别对应函数在oo的极限：limf（）存在为有限；limf（）=co；limf（）不存在.若用函数的罗朗展开式来描述3类奇点，则有.90