第4章解析函数的级数表示法a(2)a-s"1.于它的收敛半径为p，则当「<时收敛，「>p时发散.记r=p是负幂级数（4.19）当一>r时收敛，而1一「r时发散.综上所述，对于级数（4.17）的收敛集合就取决于r和R，（1）若r>R（见图4.3），此时级数（4.18）和级数（4.19）没有公共的收敛范围，故级数（4.17）在复平面上处处发散，（2）若r<R（见图4.4），此时级数（4.18）和级数（4.19）的公共收敛范围是圆环r<|2一2|<R，所以级数（4.17）在这个圆环内收敛，而在其外部发散.在其边界2一=r和-（2|=R上级数（4.17）可能有收敛点，也可能有发散点，需要根据具体情况而定，y+负幂级数收敛域正、负幂级数正幂级数收敛域公共收敛域aolo.7图4.3图4.4（3）若r=R,此时级数在「一|=R以外的点处处发散，而在「一|=R上的点无法直接断定其收敛性，要根据具体情况而定.级数（4.17）在其收敛圆环上的和函数也有类似于幂级数的性质，例如下面的结论成立定理4.11级数（A.17）在其收敛圆环内的和函数是解析的，而且可以逐项求积分和逐项求导数定理4.11的证明从略，例4.6特级教2号+2元2的收敛集，并求和函数，其中a与b为复常数2"解我们分别讨论负暴级数和正暴级数负幂级数29-2(),1,即「「>「a|时收敛,且和函数为—正幂级数2元-2（）K
复变函数与积分变换<1,即「之|<|b1时收敛,且和函数为所以，当「a||b|时.原级数收敛且收敛圆环为「a|「||b|，和函数为b(ab)zab一g(a)(b-)当「α|b|时，负幂级数和正幂级数的收敛城没有公共点，故原级数发散此例还告诉我们这样二个事实，在圆环」α<||<b|内解析的(a-b)2函数可以展开为级数：(a—z)(b—)(a-b)2292%+(az)(b—z)-N=(现在我们要问：一个圆环内的任一解析函数是否一定能展开成级数？回答是肯定的.定理4.12设f（）在圆环R内解析，那么R),(4.20)f(2)其中-(4.21)(=0.+1.+2....）.dea2元1J（这里C为圆环产一R内任何一条绕。的正向简单闭曲线（见图4.5）.且（4.20）式是唯一的证明从略.1o图4.5公式（4.20）称为函数f（z）在以2为中心的圆环r<|2一z。|<R内的罗朗（Lanrent）展开式，它的右端称为f（z）在此圆环内的罗朗级数读者应该注意，在上一节的泰勒展开式（4.8）中，幂级数的各项系数fm(z0)可用函数（）在。处的高阶导数来计算，即=(n = 0,1,n!fn(2o)2.…).而罗朗级数（4.20）中的系数中（(d一不能用来2元（—2）+n!.82
第4章解析函数的级数表示法代替，这两者并不相等.这是因为此时的函数f（）并非在以。为圆心的圆盘内解析另外，公式（4.21）虽然给出了求函数的罗朗展开式的一般方法，但用它直接求系数a，通常很困难实际上，根据由正、负整次幂组成的级数的唯一性，我们可以像上一节求函数的泰勒展开式那样采用间接法，特别是利用代数运算、变量代换、逐项求导和积分等方法，对于一些函数会简便很多例4.7求函数f(2）=（-)(α-2)在下列圆环内的罗朗级数：(1) 0</ z/<1;(2) 1</ 2 /<2;8145(3) 2<1 /<+00:4(5) 1</ -1 /<+8.长版#解将函数表示成部分分式，有f(z)2(1)在0<」|<1内,由于」「<1,因此1.从而有1+&++++…和++…++)1-2/2-因此+号+++f()=(1+++..++.)-221++++284%2"+1在2=0处解析，注意到展开式中不含有 2的负暴项,这是因为 (2)（元—1)(α—2)故 f(2)在圆盘[ z|<1内的泰勒展开式和它在圆环0<| z[<1 内的罗朗展开式是相同的.因此可认为泰勒级数是罗朗级数的特殊情形[<1,|号<1,故(2)在1<1≥<2内,f(z)=1-z21-1/221-2/21(1+1+-+)-1+号+=+.83
复变函数与积分变换2-2元(3)在 2</≥/<+80内,<1.<1,故1f(z) =1-22-221-2/21-1/(1+++）(1+++51+3+7+...24(4) 在0<2一1|<1内有11f(z)=-21-2-1(-)"-111-(z1)-(2-1)21(5)在1<1—1|<十0内,1f(z)=(2-1) 11-1/(-1)2-2-1-1)+(z-1)"从这个例子看到，给定点之后，可以把复平面分成（由f（2）的奇点隔开）若干个以之为圆心的圆环，函数f（）在这些圆环内都是解析的.而且因为圆环的不同，函数f（）可以有不同的之一。的罗朗级数.这个结果与罗朗展开式的唯一性不矛盾.事实上，所谓罗朗展开式的唯一性，是指函数在某一个给定的圆环内的罗朗展开式是唯一的另外要注意，我们虽然可以通过函数的罗朗展开式得到函数的一些信息，但这仅局限于展开式的收敛圆环中，例如，在例4.7中，当2<」<十时，有1F2"-，对圆环外的点2=0，它是右边级数的奇+1(2-1)(2-2)1点，但不是函数一的奇点（是解析点）(2-1(2-2)84.5孤立奇点本节我们来研究解析函数的孤立奇点.下面将看到罗朗级数中的负84
第4章解析函数的级数表示法暴项部分对函数在孤立奇点附近的性质起到决定性作用定义4.4若之一。为函数f（）的一个奇点，而且存在着一个去心邻域0<「一「<，f（）在其中处处解析，则称为f（）的孤立奇点1（n=士1，±2.）都是函数f（）例如，=0和=n元sin21的奇点，其中（n=士1，士2，.…）是孤立奇点.但=0不是孤立n元奇点，这是因为在≥=0的任何去心邻域内，只要"充分大，总有奇点二777元包含在其中设为f（）的一个孤立奇点，因为在0<一<中f（）解析，由上二节的定理4.12知，f（）可展开成一2。的罗朗级数，即Za(—)"+a-(2)f(2) =我们按展开式中的负幂项部分的状况把孤立奇点分为3类：（1）级数中不出现负幂项，此时称点为f（）的可去奇点；（2）级数中只含有有限个负幂项，则点称为f（）的极点；（3）级数中含有无穷多个负幂项，点z称为（z）的本性奇点一剖析.下面我们对这3类孤立奇点1.可去奇点这时.f）在0内的罗朗级数实际为一个幂级数)+...+a.(z-z.)"+ao+ai(z这个幂级数在圆盘「一「内是收敛的，其和函数为2=201aoF(z) 1f(),0<2-z0 /<由4.2定理4.8，F（）在一21<3内解析.所以不论f（）原来在20是否有定义，我们用F（z）来代替f（z），或令f（2）一αo，这样就把奇点除去了，由于这个原因，因此。称为可去奇点，例如，之=0是sin的可去奇点，这是因为2sinz=1+…（0<—+8),153!2其中不含有负幂项。若补充定义当=0时，sin=1.则sin=就成为1<十内的解析函数，对于可去奇点，显然有85