第4章解析函数的级数表示法（1）级数不含正幂项一αo为函数f（）的可去奇点：（2）级数含有限项正幂项o为函数f（）的极点：（3）级数含无限项正幂项一oo为函数f（）的本性奇点重要术语及主题数列收敛绝对收敛系条件收敛幂级数收敛域收敛半径级数收敛泰勒展开式m级零点罗朗级数收敛圆环罗朗展开式孤立奇点可去奇点极点本性奇点习题41.“复级数a与6.都发散，则级数（a±6）和a.b也发散”这个命题是否成立？为什么？2.下列复数项级数是否收敛？是绝对收敛还是条件收敛？(1)Te2()(2)n4M(5)2"3.证明：若Re(an)≥0,且a.与a.都收敛,则级数α绝对收敛.-4讨论级数（一2）的收敏性5.暑函数】c（2—2）"能否在。=0处收敛，而在=3处发散？6下列说法是否正确？为什么？（1）每一个暴级数在它的收敛圆周上处处收敛：（2）每一个幂级数的和函数在收敛圆内可能有奇点7.若c”的收敛半径为R，求的收敛半径（6≠0)6"-8.证明：若幕级数习a.-”的系数满足：lim/aT=p则(1)当0<+时，R=0（2)当g=0时.R=十00；（3）当p=十+时，R=0.9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周：（2）”（p为正实数）；(1)一（p为正整数）：n.91
复变函数与积分变换(3) 2(- i-1 2n-l-1 :(4) ((- 1)a+1)2°--10.求出下列级数的和函数：(2) 2-12(1) Z(-1)"n2"-l;11.设级数c收敛，而11发散，证明c"的收敛半径为1.12.若”在点处发散，证明级数对于所有满足」「|的点都发散113.用直接法将函数ln(1十e-）在2=0处展开为泰勒级数（到项），并指出其收敛半径114.用直接法将在|一1|2中展开为泰勒级数（到（一1）项）1+215.用间接法将下列函数展开为泰勒级数·并指出收敛半径1(1)分别在2=0和2=1处：2—3出版社（2）sin2在2=0处：（3）Arctanz在=0处：(4)（+1(+2)在#=2处）（5）In(1十）在z=0处16.为什么在区域||<R内解析且在区间（一R，R）取实数值的函数f（）展开成的幂级数时，展开式的系数都是实数？2+1，的以=0为中心的各个圆环域内的罗朗级数.17.求f(2）=十2二18.在 0<|—1[<+内将 (2）sin—展开成罗朗级数19.在1<「1<+00内将f（）=e/41-展开成罗朗级数，20.有人做了下列运算·并根据运算做出了如下结果："+#+#+.+-++++++.因为—=0.所以有结果+++++++1++2+*+=0.你认为正确吗？为什么？21.证明f(2）=cos（=十一一）用的幂表出的罗朗展开式中的系数为.cos(2cos0)cos nodo(n=0,±1...).Cn2元02220是函数f（）一一的孤立奇点吗？为什么？cos(1/)23.用级数展开法指出函数6sin十（一6）在0处零点的级.92
第4章解析函数的级数表示法24.判断=0是否为下列函数的孤立奇点，并确定奇点的类型：(2) 1-c08 3(1)e/=:25.下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出其级：11(1) sin(2)(3)2(e-1)sing226.判定=00是下列各函数的什么奇点：2元e,(2)cosz—sinz(3)3+727.函数（）：一在*=1处有一个二级极点，但根据下面的罗朗展开式：2(2-1)21111...-(12-1>1)2(2-1)2(-1)5(2- 1)t（1)3我们得到“=1又是（）的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么？28.如果C为正向圆周「|=3，求积分中f（）d的值：北京大学出版社21(1)f()=(2)f(=)=2(2+2)(2+1(2.93
第5章留数理论及其应用章的中心问题是留数定理，借助第4章的讨论，我们引入小留数概念并计算留数，我们即将看到柯西-古萨基本定理、柯西积分公式都是留数定理的特殊情况，作为留数定理的应用，我们可以把沿闭曲线的积分的计算转化为孤立奇点处的留数计算，对于高等数学中的一些定积分和广义积分，按过去的计算方法可能比较复杂，甚至难以算出结果，而用留数计算的方法则相对简便，因此，留数定理在理论和实际应用中都具有重要意义。北京大学
第5童留数理论及其应用数留$5.11.留数的定义如果f（）在。处解析，那么对于。的邻域中的任意一条简单闭曲线C,都有Φf(）d=0.如果2是f（2的孤立奇点，那么对于解析圆环0<z一2<内包含.的正向简单闭曲线C，上述积分只与f（）和z有关，而与C无关但积分值不一定为零现在我们来计算这个积分，由第4章定理4.12，f（z）在受。的邻域内可展开成罗朗级数：励出f(z) =a其中f(e)de(n = 0,±1, ±2,.)a2元i（-2)+特别地，a-pf()de.于是得到2元f(e)de- 2元ia-1.因此α-，这个系数有它特殊的含义，我们把f（）在处的罗朗级数中（z一2）-项的系数α-称为f（）在孤立奇点2.处的留数，记为Res[f(2),2o]=a-1,(5.1)即ResLf(2),2o] =pf(z)dz(5.2)2元1.例5.1求下列积分的值，其中C为包含=0的正向简单闭曲线：(2) fetde.(1)0z-coszdz:c解（1）令f（）=2-cos2则z=0为f（）的孤立奇点又因为三+#-+.（2<+8)cos2=1-2!+4!61故.95