复变函数与积分变换所以(n+-()-(<1).$4.3解析函数的泰勒展开上节定理4.8指出，幂级数在它的收敛圆内的和函数是一个解析函数.现在我们来研究相反的问题：给定一个圆盘内的解析函数是否能用幂级数来表示?回答是肯定的定理4.9设K表示以，为中心半径为的一个圆，f2）在K内解析，则（）可以在K内展开成幂级数，即a(.)f(2)=(EK),(4.8)n并称它为f（）在的泰勒（Taylor）展开式，（4.8）式右端的级数称为（）的泰勒级数证任意取定eK，再取正数p使<r，且l一<pCK（见图4.2），根据柯西积分公式，得y北京To图4.2f(ade.(4.9)f(z)2元i其中积分取正向又1-220Za-1最后一个等式成立是因为<1及例4.2的缘故.把0此式代人到（4.9）式，并把它写成.76
第4章解析函数的级数表示法2[,,]e)+R(a)f(2)L2元(()"+R(),(4.10)n!其中f()/8[2--dsR(z)=(4.11)2元i-对给定的2，我们来证明lim Rv(e) = 0212—2=q,则0≤q<1.由于f(）在内成立.为此令200解析，因此f()在—2=上连续，于是f()在—2/=上有界，即存在一个正常数M，使得KIf(e) I≤m,FE121=版由（4.11）式，有f(e)12dLIde0/Rv() /≤2元15(E201If(E) I02—d2元1-21SM1T2元2元MqN因为limg0.所以limRv(z)=0.在（4.10）式右端令N→8，则有 fm((α-20)".f(2) = n!由z的任意性，故有（4.8）式在K内成立.下证（2）的展开式（4.8）的唯一性.假设有展开式Ea(2-2)",f(2) =由定理4.8，有Fn(n-1)...(n-k+1)a(z-z)"-f(()=令=z，即得f（）=k!a，所以有公式fm(zo)(n=0,1,2,..).a.n!77
复变函数与积分变换综合定理4.8和定理4.9得到下面关于解析函数的重要性质定理4.10f）在处解析的充要条件是f（）在2的邻域内有泰勒展开式（4.8）利用解析函数的泰勒展开式可以研究解析函数在零点附近的性质设f（z）在z处解析且f（z）=0,则称z0为f（z）的零点根据（4.8）式及定理4.8，不难得到下面的性质，性质4.3为f（）的零点的充要条件是f（）在的邻域内可以表示为f(z) =(z—zo)"g(z),(4.12)其中m为某正整数，g（z）在2处解析且g（z）0.此时称是f（2）的m级零点.例如，=0和=2分别是f（）=（一2）的二级和三级零点，而表达式（4.12）中相应的g（2）分别是（2一2)和2性质4.42为f（）的m级零点的充要条件是f((2)=0(n0.1,21)但有fm（）主0.这个性质告诉我们，零点的级数可以通过导数反映出来.例如，显然=0为f（）=zsin的零点，又(sin&+zcos 20且有-(2cos 2— zsin z)-2±0.从而知0是sin的二级零点，性质4.5设为f（）的零点，且f（）在处任意阶导数都为零，即fm(2)=0(n=0.1,2,...)则存在>0,使f（）在|一|<内恒等于零这个性质说明：一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.可导的实函数不具备这种性质.例如，0.r=0.o(r)1/r1丰0.在实轴上各点处有任意阶导数，且"（0）=0（n=0,1,2，），然而g（r）在零点的任何邻域内不恒等于零一的展开式：前面的例4.2给出了函数一.78
第4章解析函数的级数表示法(4.13)1+2+2++2"+(<.现在我们再给出几个常用的初等函数的泰勒展开式直接利用公式f(n(z)(n= 0.1.2..)a,=n!计算解析函数f（）的泰勒展开式的方法称为直接法.例如，f（）=e在=0处有f）（0）=1（n=0.1,2,.）.故有2e=1+++3+...(2/<+).(4.14)n!右端级数的收敛半径R=十0，故上式在复平面内处处成立用同样的方法可得22m(-1)"COS(2n)!4222=1-+... +(-1)*+."(/ z |<+8); (4. 15)2！14!(2n)!22#+1sin:(-1)"(2n+1)!2f22++(-1)*<).23!+51(2n+1)(4.16)由于解析函数在一点的泰勒展开式是唯一的，借助于已知函数的展开式并利用幂级数的一些性质来求得另一函数的泰勒展开式，因此，这种方法称为间接法.例如，（4.16）式也可以用间接法得到，(iz)"(i2)"Celsinz:2in!n！21(2n+1)!例4.5把西数展开成2一1的幂级数（1+1111A解(1+2)24(1+2-+二2把公式（4.13）中的换成一，得1=1-$+$++-""+(=1+$上式两边逐项求导，得11-2#+3*-4++(-1)-I n"- + (1 $[<1).(1 +)2于是有79
复变函数与积分变换1.1[1-2+3*—4g*+ +(—1)" n"-+](1+2)2[1-2()+3()-·…+（1)-()+() (α) (2).84.4解析函数的罗朗展开上一节已经证明了在以为中心的圆盘内解析的函数（）一定可以展开为一的幂级数.现在我们要问，在圆环一「R内解析的函数f（）（在处不解析）是否也可以展开为一。的幂级数？回答是否定的，因为幂级数的和函数在它的收敛圆中是解析的（包括2。点）.本节将讨论在以之。为中心的圆环内解析的函数的级数表示法考虑级数a-()-"+.+a-—z)-1a20+a+a(-)+...+a.-)"+..,(4.17)其中和a（n=0，±1，土2.）为常数，为变量.级数（4.17）由两个部分组成，第一个部分是一的正幂级数：a-)=a+a—)++a)"+;(4.18)第二部分是一的负幂级数：Ta-,(—)-= a-r(2)-1 +**+a-(2)- +***(4.19)如果在=处，级数（4.18）和级数（4.19）都收敛，就称为级数（4.17）的一个收敛点，不是收敛点的点就称为该级数的发散点，我们首先来讨论级数（4.17）的全体收敛点的集合，级数（4.18）是一。的幂级数，它的收敛范围是圆盘|一。|<R，且1—>R时级数发散.对级数（4.19）来说，做变换=，就得到的幂级数.80