第4章解析函数的级数表示法a,(-)"=a+ai(-2)+...+an(-2)"+..(4.3)的表达式.它的一般项是幂函数g.（名一）"这里a.（n=0.1.2.）和是复常数，而之为复变数，给定的一个确定值1.则级数（4.3）为复数项级数a(2i-20)"=a+a(22)++a.(2i-2)"+(4.4)若（4.4）式所表示的级数收敛，则称幂级数（4.3）在1处收敛，称为级数（4.3）的一个收敛点，否则称为发散点.若D为级数（4.3）所有收敛点的集合，则级数（4.3）在D上的和确定一个函数S（）：S()=a+a(2)+..+a(z—)+(zED),(4.5)称S（z）为级数（4.3）的和函数.对于幂级数（4.3），我们需要知道它在哪些点收敛，它的和函数具有什么样的性质.为讨论简便，不妨假定。=0，这时级数成为2(4.6)a."=ao+a2+a.g"-通常只要做变化w=2一，就可以把级数（4.3）化为级数（4.6)：同高等数学中的实幂级数一样，复幂级数也有相应的阿贝尔（Abel)）收敛定理.定理4.5如果幂级数a在=2（半0）处收敛，则对于满足！之|||的，级数必绝对收敛：如果级数在=处发散，则对于满足「的级数必发散证我们只证明定理的前半部分，后半部分的证明留给读者由于级数a%2收敛，根据定理4.3，有lima=0.因而存在正数M.使对所有的n， a"I<M成立如果，那么=q<1.而z[an"|= ane"}.<Mg"1由于Mq"是公比小于1的等比数列，因此收敛.由正项级数的比较判别法知级数
复变函数与积分变换Ia"|=|ao|+lar|+...+lan"[+.收敛，从而级数a"是绝对收敛的.2.收敛半径和收敛圆根据定理4.5，幂级数（4.6）的收敛情况必是下列情形之一：（1）除=0外，级数处处发散：（2）对于所有之，级数都收敛，由定理4.5知，级数在复平面内处处绝对收敛；（3）存在一个正实数R，使级数在1|<R中收敛，在||>R中发散，如图4.1所示图4.1我们把该正实数R称为级数（4.6）的收敛半径，以原点为中心、半径为R的圆盘称为级数的收敛圆.对幂级数（4.3）来说，它的收敛圆是以2为中心的圆盘，值得注意的是，在收敛圆的圆周上级数是收敛还是发散，不能做出一般的结论，要对具体级数进行具体分析.例4.2讨论幂级数=1++2+++.的收敛范国与和函数解级数的部分和为2丰1S.(2)=1十2十22=11于是↓2<1,lim S,(z):发散，4z[≥1.由此我们得到该级数的收敛半径为1,收敛圆为「「<1且在区域「2|≥1上处处发散..72
第4章解析函数的级数表示法3.收敛半径的求法对于某些幂级数，我们可以根据下面的定理来求其收敛半径定理4.6若幂级数ane"的系数满足：lim.则(1）当0时.R（2）当0=0时.R（处处收敛）；（3）当0=+时R=0（仅有一个收敛点=0）考虑正项级数证[a"[=|a|+|aiz|+...+aw"A由于antilim=//(4.7)liman"Ta.若0<p<+,由正项级数的比值判别法知,当pl/1.即「<0二时，「a"「收敛，从而a"收敛；而当「>1,即「>时，0由（4.7）式知1a2lim>1.Lane故当n充分大时,有「am+|≥a,",所以，当n→时，一般项「a,"|不能趋于零，由定理4.3可知级数≥"发散.故收敛半径R=六0-若p=0.则p1<1，由（4.7）式及比值法知，对任何，级数「an"「收敛，从而an”收敛，即收敛半径R=十co.若=十，对任意0，当n充分大时，必有「a+"+≥|a"|，由此得）amz"发散，故收敛半径R=0.定理4.7若幂级数a"的系数满足：limaT=p.则（1）当0<P<+时.R（2）当0=0时.R=十8：73
复变函数与积分变换(3）当=十00时.R=0.证明请读者自己已完成，4.幂级数的运算及性质下面给出复变幂级数的一些重要性质，其证明从略，性质4.1若幂级数a2"和b,"的收敛半径分别为R，和R，则幂级数(a,±b.）的收敛半径不小于R=min(R,R)，且在1|<R内,有an"±b.s（a±b)"-H(r-(若幂级数>am"和b,"的收敛半径分别为R和R2性质4.2则幂级数+aib,+ab)z"+aab+(abi+arb)+(a.b)的收敛半径不小于R=min(Ri,R21,且在「|<R内，有Eame".b.a"-ab,1 上述性质说明了由两个幂级数经过相加或相乘的运算后，所得到的幂级数的收敛半径只是大于或等于R，和R，中较小的一个下面举一个例子来说明例4.3设有暴级数“与》2"（0<a<1),求幕级数1a2(1-1+a)"-214a的收敛半径.根据前面的定理4.6和定理4.7.容易得到和）解”的收敛半径都为1，1+8a2”的收敛半径为一（>1).但应注意，使等式而刀l+a2-2+a"-2(1-1+a)74
第4章解析函数的级数表示法成立的范国仍为「~<1.当1|~|<一时，等式左边的两级数都不收敛，所以等式没有意义和实幂级数一样，复幂级数的和函数在收敛圆内有一些好的性质，定理4.8设幂级数a（z一z）"的收敛半径为R，那么（1）它的和函数f（2）=a（2—20）"在收敛圆|2—26|<R内是解析函数：（2）f（）的导数可通过对其幂级数逐项求导得到，即f()=Enaw(2-2)u-f出版社（3）（）在1一2<R内可以逐项积分，即[(o)d:= ZaJ(2-2)'de,其中C为|一|<R内的曲线利用上面的结果，我们可以求得一些幂级数的和函数，例4.4求出下列幂级数的和函数：(n+1)z.(1)(2"(2)-1- :解(1)因为12+1L an+r一limlim=2,TanT1.2"11O1+0011同样，22和的收敛半径分别为R所以收敛半径为R=和R2=1.于-2WE10=一时，有是,由性质4.1知，当「|<-(2)2--2(2)=2(1—2)=-2(1-（2）因为limn+2=1limon+l所以收敛半径为R=1.在12<1内取一条连接0和z的简单曲线C，由逐项积分性质，得2(n+1de=2f(+1ed-2=75