《高等数学》上册教案第三章中伯定理与导数的应用 即=，则是-+a,a0,期 ox-x)="园r-x）+a-} 2 且=只a=0,即a-P=-.从而 )+0-x-)+F(x)+-x f()=P2()+(x-xo)],p,()与函数f(x)在。有相同的西数值、一阶导数值以及二阶导 数值。若f(x)≈P,(x),则误差为o(x-x)门，·一般，设 p.()=f)+f,Xx-)+x-}++(x-八，剩n.的与画数f闭在 2 n! x,有相同的函数值、一阶导数值、二阶导数值以及直至相同的n阶导数值：若用f(x)≈P(x), 其误羞为(x-x],即 =6+/K-0+x-++g-6r+-9 2 n! 称p,()为函数fx)在点的n阶泰勒多项式，且fx)=P()+dxr-x)]。 根据上面的讨论，只要函数f(x)在x,点有n阶导数，就有f(x)=p,()+o(x-x)门：其 中近似计算为f(x)≈p(m),但误差0(x-x)门仍然无法估计。 定理、(Taylor中值定理)若函数f(x)在点x,的某邻城内有直到n+l阶的导数，则对邻城内 的任意一点x都有 f(x)=p(x)+R(x) 称为∫(x)在点的n阶泰勒公式，而称 p国=f+kXx-t+2e-ky n! 南四在与的：降香和多项天儿因-得-有，降多的公天的数 格朗日型余项，5介于，x之问。 证：构造画数：g6)=f-n(国)=)-f)+foXx-0+…+fx- n! 则函数g(),G(x)=(x一x)在以x,x,为端点的区间上具有n+1阶导数，而且在直到n阶 第11页一共32页 票衣安
《高等数学》上册教案 第三章中伯定理与导数的应用 的导数均为零，+1使用柯西中值定理，存在5介于x,之间，使得 g(x) g①gw-f且，即 x-x)产=GG3n+i是 o--r,a-n国-9-r 送得0四=+/化Xx-++x-P+但x-6”5价于x之间 n! 注：①注意到Rx)是比(x-x)”高阶的无穷小，故余项也可以写为：R(x)=(x-x)门“n 阶泰勒公式的皮亚诺型的余项，常用在求极限等问题中： ②近似计算：)≈P(),则可以用拉格朗日型余项估计误差：误差不超过： .c=) 哥-sM,则保医不超过e-: ③在n阶泰勒公式中，取x=0时，泰勒公式变为： ++得r5价于0之间 f=f0+f0x+…+0x+、 n! 称为n阶马克劳林(Maclaur in)公式。 ④用泰勒多项式作近似计算时，不再要求-足够的小，其精确度可以通过增大n来弥补。 例1.写出函数f(x)=e的n阶马克劳林公式。 解：(1)计算各阶导数：f(x)=e,f(x)=e,k=01,2,… (2计算直到n阶的导数值：x=0 f(0)=e°=1，k=0.l,2,,n: f+(⑤)=e5,5介于0，x之间 3)将计算的结果带入公式： f)=f0)+0x+…+f90x+2x (n+10明 5介于0，x之间 此时，若近级计果：心1++宁+…中品，则误发借计为 第12页一共32页 素永安