《高等数学》上册教案 第三章中伯定理与导数的应用 (1)imf)=0,imgx)=0; (2)存在x的一个去心邻域N(。,6),在此邻域内，f"(x)、g(x)存在，且g(x)≠0： 包版经但得点幸为： 副=品一得 这：由于四得个在与香与泉利、在点份银海无关，及思阳0， lim g(x)=0,因此不坊设：fx,)=0,g(x)=0: x∈N(,),不坊设x。<x,则f)、g)满足：在闭区间，x上连续，在开区间(x) 内可导，且g'(x)≠0。由Cauchy定理，存在5e(x,x),使得 fx_-fo)_且 g(x)g(x)-g(xo)g(e) 林，有5，从得一得得供得得 主：如果板限一得仍层是号型的，高数小、F满足定理中对、F因的表水 则可以继续利用洛必塔法则，即有 表明在同一题中可以多次的使用洛必塔法则。 例1.家板限四. n白二=胸ha=nb=ha-hb=hg 1 解：0守-2-习2四0-习网 注：①洛必塔法则可以报广到x→时的”型不定式： ②洛必塔法则可以推广到x→四时的二及8型不定式： 第6页一共32页 素衣安
《高等数学)上册教案第三章中伯定理与导数的应用 ⑨综上所述，洛必塔法则可以用于讨论二及号型的不定气 例3.求极限mamx。(巴型) -+号cot2x。 sec2x 注：①二及型不定式在使用洛必塔法则后，可能相互转化： ②在解题过程中，注意随时化简函数是十分必要的。 例4.表板限m号皿品 解：=号三后三册n生肥后切 e e Y nx"-1 ix” n'x-t 皿6可兰-产肥厂兰--ar严于 n'x" n-x” nx" =--aF=…=-和--2可正n-2w 当x→+o时，e,x",(血x”均趋向于+0。这一结论表明，e→+o的速度最快，x”→+o 次之，(nx→+0速度最慢。 二、其他类型的不定式的极限00,0-0,0°，°及1型 以上各种类型的不定式，均可以转化为”或日型，然后用洛必塔法则求解。 000 1.00型（积的不定式） 例5.求极限1 imnx,（μ>0)。（0o型) 期：gh兰职立r=0 例6.求极限lim eln(arctanx)(0:o型) :具eean-典a生=gm (ey 是典高立典名 -e" 第7页一共32页 泰永安
《高等数学》上册教案第三章中伯定理与导数的应用 宝：四如水0运学u典色m- 威果恩必0中实生四以，不者出，上我不 可取。 2.0-0型（差的不定式) 解：--p）-生身2-+ 4x3 -(）2生 =要妈学生与也一生妈 3x2 上产号 3.0°，0°及1型（暴指函数的不定式） 倒8.求板限m可(0产) 解：令：y=可，则ay6-h e2r-1 四y册句细奈卿细证1 2 所以m向me=e 例9.求叛限m++ta必，（型 n hr=n吧w+c+=归ac++的-hr 第8页一共32页 票安
《高等数学》上册教案 第三章中伯定理与导数的应用 士1nimG+4++a上血n(化简) n+时+tda+ahai+tdha.) =lna,+lha,+…+lnan=ln(aa,an） +4tr-▣gaaa n 三、使用洛必塔法则应该注意的问题 1。只有行二型本可以考忘使用洛必塔法： 错误的好法：县产-。。 x3+3x2 3x2+6x 2.应多种求极限方法综合使用，并注意随时化简： a亚-9-号 tanx-sin x x2sinx r3 吗o时-c-eo-2o sinx sinx 是=2间--血0-0-号 3x2 3.注感洛必塔法对中的条件3，申并非所有的日二型一定可以用洛必塔法则水保。如 -千m进m+g… 出现指应黄用含方大中血忌产1出化无方大国 +c0s,极限m1-cosx +©0s不存在，但并不能由此得出原极限不存在。 实际上北函数不满足洛必等法时中的条件3。正确的解法是：即温一学1 例10.确定常数a,h,c,使得nx=a+bx-)+c(x-lP+ox-l。 解：由条件，nx=a+b(x-)+cx-+ox-l,故应有： hx-a-(x-)-c(x-1是无穷小(x→1)： lnx-a-b(x-1)-c(x-1}是比x-1高阶的无穷小（x→1)： 第9页一共32页 泰永安
《高等数学》上册教案第三章中伯定理与导数的应用 nx-a-b(x-)-c(x-1是比(x-1高阶的无穷小(x→1)： 根据以上的分析，应有： Clim[lnx-a-b(x-1)-c(x-1)]=0 (1) x-a-M-1)-dks-10 x-1 ha--c-止=08 (x-1 (1)1 im[lnx--a-b(x-)-c(x-1]=0,可得：a=0: 由2，月洛2塔法对：0=四0=---=四上-2-山1-b“6=1: -1 1 由3，月洛必塔法则：0=回0-二业-业=血---业 (x-1 (x-1 2(x-I) 2 §3.泰勒公式(Taylor) 一.泰勒公式 如果函数y=f(x)在x点可微，则△y=A△x+O(△x),即 fx+△)-f)=f(x,)Ar+o(△) 若令x=+△r,则f(x)-f(x)=f'()x-x)+0(x-x),有 f)-fx)≈f'(xx-x)或fx)≈fx)+f'(Kx-x),其误差为高阶无穷小0(x-x):即 用一次多项式p,(x)=fx)+f"(xx-x)近似表示函数，且此多项式在x与函数fx)有相同 的函数值及一阶导数值。其缺点是1)不能够任意地提高精确度：(2)无法估计误差的范围。因 此考虑是否可以用高阶多项式来近似地表示函数，同时解决误差估计的问题。 根据前面的讨论，f(x)-P,x)=fx)-f(x)+f"(x)x-x)=o(x-x) 如果f(x)-P,(x)与(x-x)》子同阶，则 一是-典但912二- (x-x) .孕侧=利 2 第10页一共32页 素衣安