排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列 定义在排列中,将任意两个元素对调,其余 元素不动,这种作出新排列的手续叫做 对换 将相邻两个元素对调,叫做相邻对换 例如 a1…a1abb1…bm b1…bnb I aa b bna1…a1bb1…bmnc1…C
逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 排列的奇偶性 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余 元素不动，这种作出新排列的手续叫做 对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． a1 al a b b1 bm 例如 a b a1 al bbaa b1 bm l m n a a a b b b c c 1 1 1 l m n a a b b b a c c 1 1 1 b a a b
定理1一个排列中的任意两个元素对换,排列 改变奇偶性 证明设排列为 a1…n1b1…b对换n与ba1…如amb…bm 除a,b外,其它元素的逆序数不改变
定理1 一个排列中的任意两个元素对换，排列 改变奇偶性． 证明 设排列为 a1 al ab b1 bm 对换 a 与 b a1 al ba b1 bm 除 a,b 外，其它元素的逆序数不改变. ab ba
当a<b时, 经对换后的逆序数增加1,b的逆序数不变; 当a>b时, 经对换后的逆序数不变,b的逆序数减少1 因此对换相邻两个元素,排列改变奇偶性 设排列为a1…a,mb…bnbe1…Cn 现来对换a与b
当 a b 时， 经对换后 a 的逆序数增加1 , b 的逆序数不变; 经对换后 a 的逆序数不变 ， b 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 l m n a a ab b bc c 1 1 1 当 a b 时， 现来对换 a 与 b
1…" b1…bnb Ci¨Cn m次相邻对换 a1…a1⑩bb1…bnc1…cn m+1次相邻对换 a1…u1bb1…bnlC1 a1…a1ub1…bnbc1…Cn 2m+1次相邻对换 a1".a,bb b,aC1…c 1 n 5 所以一个排列中的任意两个元素对换,排列改变 奇偶性
m 次相邻对换 l m n a a ab b b c c 1 1 1 m + 1 次相邻对换 l m n a a b b b a c c 1 1 1 , 1 l 1 m 1 n a a ab b bc c 2m +1 次相邻对换 , 1 l 1 m 1 n a a bb b ac c 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. ab l m n a a a b b b c c 1 a 1 b 1 b a
推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数, 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数 证明由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0,因此 知推论成立 定理2n≥2时,n个元素的所有排列中,奇排 列和偶排列的个数相等,各为m
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 定理2 时，n个元素的所有排列中，奇排 列和偶排列的个数相等，各为 n 2 2 n!