1-42)2习题121 (142)(1-A)=M0。1+Ry2+…+R +R2n1) (1-43)(s)=|s-4=s"+asn+…+an1s+a R0=1 R,=4+a,I R2=A+a,A+a2I=AR+a2I (1-44) R= AR+al R AR 2 t a 0=ARn-1+anI=△(A) (A可逆) a.≠0
1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 0 1 0 0 ( ) − − − − − − − − = = + = = + = + = + + = + = + = n n n n n n n n k k k R a a A AR a I A R AR a I R AR a I R A a A a I AR a I R A a I R I (1-44) (A可逆) (1-42) ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 2 1 1 0 1 − − − − − + + + + − = n n n n R s R s R s R s sI A (1-43) n n n n s = sI − A = s + a s + + a − s + a − 1 1 1 ( ) (1-42),习题1-21
习题1-21要证 (Rk-1A)k=1,2 k 式中符号tA表示A的迹,迹的运算性质为 traA= atrA (A+B)=trA+trB tr(AB)=tr(BA) 利用恒等式(可由行列式定义直接证明) det(bb2…b,)=∑de(b1…bk…b d△(s)dlsl-A tradi( S 直接分别计算上式两边,并比较上式左、右边的s同次幂系数
= = n k b b bn b bk bn dt d 1 1 2 1 det( ) det( ) ( ) ( ) ( ) = − − = tradj sI A ds d sI A ds d s t r R A k n k ak k ( ) 1,2, , 1 1 = − = − 习题1-21 要证 利用恒等式(可由行列式定义直接证明) 直接分别计算上式两边，并比较上式左、右边的s同次幂系数 式中符号 trA 表示A的迹，迹的运算性质为 ( ) ( ) ( ) t r AB t r BA t r A B trA trB t r A trA = + = + =
左边 nn1+a1(n-1)s"2+…+(n-k)asn-k++ 右边 r(R。s”+R;s"2+…+Rsnk+…+Rn2s+Rn1) nS+trR1s2+…+bRk-+…hn-1 比较上式左、右边的s同次幂系数,则有 (n-kak=trR=tr(ARk+arD=trAR+nak 由上式即可得 tr(ARk=tr(RkA k
( ) 1 ( ) 1 1 t r R 1 A k t r AR k ak k− k− − = − = k k k k k nak (n − k)a = trR = t r(AR −1 + a I) = trAR −1 + 由上式即可得 ns n−1 + a1 (n −1)s n−2 ++ (n − k)ak s n−k+1 + 左边 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 0 ( ) − − − − − − − − − − − = + + + + + + + + + + n n k k n n n n n k k n n ns trR s trR s trR t r R s R s R s R s R 右边 比较上式左、右边的s同次幂系数, 则有
这两组式子除了提供以后要用的形式表达式之外,还可 以解决一些计算问题 两类计算问题:给定A 已知A的特征式及特征值,可求adj(s-A),A的逆及特征 向量。只需用(1-42,43,44)式。 2,特征式未知时,求特征式、adj(s-A),A的逆。 这时要用到习题1-21的结果和(1-44)的递推式子令 A= AR Rk=A+an1(=1.2,n1)R=
1，已知A的特征式及特征值，可求adj(sI-A),A的逆及特征 向量。只需用(1-42,43,44)式。 2, 特征式未知时，求特征式、 adj(sI-A), A的逆。 这时要用到习题1-21的结果和(1-44)的递推式子,令 A AR R A a I k = k−1 k = k + k (k=1,2, ··· n-1) R = I 0 这两组式子除了提供以后要用的形式表达式之外，还可 以解决一些计算问题 两类计算问题：给定A