第33卷第4期 力学季刊 7o.33No.4 2012年12月 CHINESE QUARTERLY OF MECHANICS Dec.2012 “正本清源”在力学之数学及 专业基础知识体系建立中的作用 谢锡麟 (复旦大学力学与工程科学系,上海200433) 摘要:将力学之数学及专业基础知识体系分别归结为微积分和现代张量分析以及基于其上的连续介质力学;借 鉴具有一流水平的国内外教程或专著,给出了上述基础知识体系的基本构成。提出以知识点以及知识要素组织 知识体系,并分析了微积分知识体系的辐射性发展特征;提出隶属不同知识体系的知识点其所属知识要素可能 是同一数学结构或形式,称之为数学通识。我们把数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法;叙述 了数学知识体系同力学知识体系间的关系。引述微积分、张量分析、微分几何、连续介质力学等知识体系中的有 关知识以阐述上述观点,并以自己的方式给出了所涉及的微积分中 Stokes公式的统一性证明,张量分析中张量 梯度的可微性观点以及微分几何中Lie导数的场观点定义及结论等。 关键词:知识体系;知识点;知识要素;数学通识;微积分;张量分析;微分几何;连续介质力学 中图分类号:G642.0 文献标志码:A文章编号:02540053(2012)04-544-14 The Roles of "To Radically Reform To Thoroughly Overhaul in the Set Up of the Fundamental Mathematical and Mechanical Knowledge Systems of the Mechanics XIE Xi-lin Department of Mechanics & Engineering Science, Fudan University, Shanghai 200433, China) Abstract: The fundamental mathematical and mechanical knowledge systems of the mechanics were corr cluded as calculus and modern tensor analysis with continuum mechanics based on it. As referred to the related national and international textbooks and monographs with the first levels, the fundamental consti- tutions of the above mentioned knowledge systems are presented. It was put forward that the knowledge points with the corresponding knowledge elements are suitable to recognize one knowledge system, and the radical development property of the knowledge system of calculus is expressed. The concept termed as Mathematical Generality " was put forward that are just some mathematical structures or forms as the so called knowledge elements of some knowledge points with respect even to different knowledge systems. Mathematics is taken as the systematic ideas and methods to recognize the natural and unnatural worlds in the present paper, and the relationships between mathematical knowledge system and mechanical knowh dge system are represented to some extents. Some cases originated from the knowledge systems of calci lus, tensor analysis, differential geometry and continuum mechanics are adopted to expound the argur 收稿日期:2011-12-26 基金项目:国家自然科学基金(10872051);高等学校博士学科点专项科研基金(新教师基金20070246139);上海市教委2011年上海高 校本科重点教学改革项目“·现代连续介质力学理论及实践’课程体系”;上海市教委2011年重点课程项目“《数学分析》(一年制,面对力学 等技术科学专业)” 作者简介:谢锡麟(1974-)男,浙江鄞县人,副教授,博士.研究方向:理性力学观点下的连续介质力学理论,力学中的数学方法并将上述 理论应用于开放流场空间动力学行为等研究.Email:xiexin@fudan.edu.cn o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
第３３卷 第４期 ２０１２年１２月 力 学 季 刊 ＣＨＩＮＥＳＥＱＵＡＲＴＥＲＬＹＯＦＭＥＣＨＡＮＩＣＳ Ｖｏｌ．３３Ｎｏ．４ Ｄｅｃ．２０１２ “正本清源”在力学之数学及 专业基础知识体系建立中的作用 谢锡麟 （复旦大学 力学与工程科学系，上海 ２００４３３） 摘要：将力学之数学及专业基础知识体系分别归结为微积分和现代张量分析以及基于其上的连续介质力学；借 鉴具有一流水平的国内外教程或专著，给出了上述基础知识体系的基本构成。提出以知识点以及知识要素组织 知识体系，并分析了微积分知识体系的辐射性发展特征；提出隶属不同知识体系的知识点其所属知识要素可能 是同一数学结构或形式，称之为数学通识。我们把数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法；叙 述 了数学知识体系同力学知识体系间的关系。引述微积分、张量分析、微分几何、连续介质力学等知识体系中的有 关知识以阐述上述观点，并以自己的方式给出了所涉及的微积分中 Ｓｔｏｋｅｓ公式的统一性证明，张量分析中张量 梯度的可微性观点以及微分几何中 Ｌｉｅ导数的场观点定义及结论等。 收稿日期：２０１１－１２－２６ 基金项目：国家自然科学基金（１０８７２０５１）；高等学校博士学科点专项科研基金（新教师基金 ２００７０２４６１３９）；上海市教委２０１１年上海高 校本科重点教学改革项目“‘现代连续介质力学理论及实践’课程体系”；上海市教委２０１１年重点课程项目“《数学分析》（一 年 制，面 对 力 学 等技术科学专业）” 作者简介：谢锡麟（１９７４－）男，浙江鄞县人，副教授，博士．研究方向：理性力学观点下的连续介质力学理论，力学中的数学方法并将上述 理论应用于开放流场空间动力学行为等研究．Ｅｍａｉｌ：ｘｉｅｘｉｌｉｎ＠ｆｕｄａｎ．ｅｄｕ．ｃｎ 关键词：知识体系；知识点；知识要素；数学通识；微积分；张量分析；微分几何；连续介质力学 中图分类号：Ｇ６４２．０ 文献标志码：Ａ 文章编号：０２５４－００５３（２０１２）０４－５４４－１４ ＴｈｅＲｏｌｅｓｏｆ“ＴｏＲａｄｉｃａｌｌｙＲｅｆｏｒｍ ＆ ＴｏＴｈｏｒｏｕｇｈｌｙＯｖｅｒｈａｕｌ” ｉｎｔｈｅＳｅｔＵｐｏｆｔｈｅＦｕｎｄａｍｅｎｔａｌＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎｄＭｅｃｈａｎｉｃａｌ ＫｎｏｗｌｅｄｇｅＳｙｓｔｅｍｓｏｆｔｈｅＭｅｃｈａｎｉｃｓ ＸＩＥＸｉ－ｌｉｎ （ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭｅｃｈａｎｉｃｓ＆ＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＳｃｉｅｎｃｅ，ＦｕｄａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈａｎｇｈａｉ２００４３３，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎｄｍｅｃｈａｎｉｃａｌｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍｓｏｆｔｈｅｍｅｃｈａｎｉｃｓｗｅｒｅｃｏｎ－ ｃｌｕｄｅｄａｓｃａｌｃｕｌｕｓａｎｄｍｏｄｅｒｎｔｅｎｓｏｒａｎａｌｙｓｉｓｗｉｔｈｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓｂａｓｅｄｏｎｉｔ．Ａｓｒｅｆｅｒｒｅｄｔｏｔｈｅ ｒｅｌａｔｅｄｎａｔｉｏｎａｌａｎｄｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌｔｅｘｔｂｏｏｋｓａｎｄｍｏｎｏｇｒａｐｈｓｗｉｔｈｔｈｅｆｉｒｓｔｌｅｖｅｌｓ，ｔｈｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｃｏｎｓｔｉ－ ｔｕｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅａｂｏｖｅｍｅｎｔｉｏｎｅｄｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍｓａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｉｔｗａｓｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｔｈａｔｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅ ｐｏｉｎｔｓｗｉｔｈｔｈｅｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｋｎｏｗｌｅｄｇｅｅｌｅｍｅｎｔｓａｒｅｓｕｉｔａｂｌｅｔｏｒｅｃｏｇｎｉｚｅｏｎｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍ，ａｎｄ ｔｈｅｒａｄｉｃａｌｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍｏｆｃａｌｃｕｌｕｓｉｓｅｘｐｒｅｓｓｅｄ．Ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｔｅｒｍｅｄａｓ “ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＧｅｎｅｒａｌｉｔｙ”ｗａｓｐｕｔｆｏｒｗａｒｄｔｈａｔａｒｅｊｕｓｔｓｏｍｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｏｒｆｏｒｍｓａｓｔｈｅｓｏ－ ｃａｌｌｅｄｋｎｏｗｌｅｄｇｅｅｌｅｍｅｎｔｓｏｆｓｏｍｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｐｏｉｎｔｓｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｅｖｅｎｔｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍｓ． Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｉｓｔａｋｅｎａｓｔｈｅｓｙｓｔｅｍａｔｉｃｉｄｅａｓａｎｄｍｅｔｈｏｄｓｔｏｒｅｃｏｇｎｉｚｅｔｈｅｎａｔｕｒａｌａｎｄｕｎｎａｔｕｒａｌｗｏｒｌｄｓｉｎ ｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｐａｐｅｒ，ａｎｄｔｈｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓｂｅｔｗｅｅｎｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍａｎｄｍｅｃｈａｎｉｃａｌｋｎｏｗｌ－ ｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍａｒｅｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄｔｏｓｏｍｅｅｘｔｅｎｔｓ．Ｓｏｍｅｃａｓｅｓｏｒｉｇｉｎａｔｅｄｆｒｏｍｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍｓｏｆｃａｌｃｕ－ ｌｕｓ，ｔｅｎｓｏｒａｎａｌｙｓｉｓ，ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｇｅｏｍｅｔｒｙａｎｄｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓａｒｅａｄｏｐｔｅｄｔｏｅｘｐｏｕｎｄｔｈｅａｒｇｕ－
第4期 谢锡麟:“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 ents that are raised in the present paper. The related proof of the Stokes formula in calculus in the uni- fied form, the interpretation of the tensor fields gradient in tensor analysis in the point of view of differ ential and the definitions of the Lie-derivative in differential geometry viewed from field argument with the related results are our own cognitions Key words knowledge system; knowledge point; knowledge element; mathematical generality: calculus tensor analysis; differential geometry; continuum mechanics 17世纪,牛顿力学体系的建立标志着自然科学的兴起;18-19世纪,连续介质力学的诞生使力学发展 成为一门内容丰富并且获得广泛应用的基础科学。①马克思曾指出“力学是大工业的真正的科学基础”。 着科学技术的发展,现代力学的研究范畴从传统的刚性机械运动延拓至可变形的复杂介质运动,从纯机 械世界延拓至机械与物理、化学、生物学等过程的相互作用,甚至渗透至经济、管理、医学等领域②。钱学 森先生在2007年对中国力学学会成立五十周年之际的贺词中指出:“力学有两方面的服务对象:一是为工 程技术服务,另一是为发展自然科学服务,两者是相辅相成,相互促进的”。 力学学科的上述特征,使得力学知识体系别具特色,她既需要庞大而坚实的数学支撑,又需要联系丰 富而多样的自然现象。进而,力学知识体系不仅对研究者提升自身工作层次而且对人才培养等方面都具 有极其重要的意义 本文拟从力学之数学及专业基础知识体系,微积分知识体系的辐射性发展特征,知识体系架构(知识 点及知识要素),数学通识,数学知识体系同力学知识体系的关系等方面叙述我们持续性追求具有现代 化及一流化特征的力学知识体系所获得的阶段性认识 1力学之数学及专业基础知识体系 按通行的理论与应用力学专业(以下简称力学专业)的课程设置,力学知识体系可以分为数学以及专 业知识体系二部分。数学知识体系,主要包括:微积分及线性代数(核心基础)→①复变函数+复分析;② 常微分方程十偏微分方程;③概率论十数理统计;④微分几何;⑤实分析十泛函分析等。专业知识体系,主 要包括:理论力学及材料力学(核心基础)→①弹性力学十塑性力学;②流体力学+空气动力学;③振动力 学;④控制力学等。③ 鉴于微积分在整个数学知识体系中的核心地位,本文将微积分作为力学之数学基础知识体系。基于 对国内外具有一流水平的教程或专著的调研[④,我们通过图1表示微分学和积分学所能包含的主要内 容 相对于当前国内力学专业的必修内容,具有国内外一流水平的微积分教学表现为如下特征:①将微分 学由有限维 Euclid空间延拓至一般赋范线性空间③;②将积分学由 Riemann积分延拓至 Jordan测度、Leb eague测度意义下的积分⑥;③将微积分研究对象由可单个参数化的几何形态延拓至需多个参数化的几何 形态,亦即建立微分流形上的微积分⑦。需指出,国内现行微积分课程设置一般为一年或一年半制(一般 ①《中国力学学科发展战略研究报告(2011-2020年)》 ②李家春院士,周恒院士对复旦大学力学与工程科学系进行学术访问时都指出 ③参见《2011年理论与应用力学专业教育教学复旦大学硏讨会一学术信息整理》,谢锡麟、傅渊、杜俊、陈瑜整理;与会代表间交流,未 ④对于相关知识体系,本文参考文献部分仅列出笔者日常最常用的学习与参阅的教程或专著;尚有很多优秀著作未能列举 ⑤V.A. Zorich著“ Mathematical Analysis”的卷2,对一般赋范线性空间上的微分学给予了极其优越的叙述,相关理论的建立可以完 全类比与有限维 Euclid空间上的微分学,张筑生著《数学分析新讲》第2册,对有限维 Euclid空间上的微分学给予了极好叙述,且能非常好 地衔接与一般赋范线性空间上的微分学 。对于力学而言,可能我们既需要有限维 Euclid空间上的测度论也需要一般集类的测度论,对此周民强编著《实变函数论》(北京大 版社2009)以及夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌编著《实变函数论与泛函分析》(上册)(高等教育出版社2010)分别有很好的叙述 ⑦V.A. Zorich著“ Mathematical Analysis"的卷1及卷2,对微分流形的基本定义有极好的叙述,指出对于图( chart)的定义可以既基 于微分同胚也可以基于秩定理 o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
ｍｅｎｔｓｔｈａｔａｒｅｒａｉｓｅｄｉｎｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｐａｐｅｒ．ＴｈｅｒｅｌａｔｅｄｐｒｏｏｆｏｆｔｈｅＳｔｏｋｅｓｆｏｒｍｕｌａｉｎｃａｌｃｕｌｕｓｉｎｔｈｅｕｎｉ－ ｆｉｅｄｆｏｒｍ，ｔｈｅｉｎｔｅｒｐｒｅｔａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｔｅｎｓｏｒｆｉｅｌｄ＇ｓｇｒａｄｉｅｎｔｉｎｔｅｎｓｏｒａｎａｌｙｓｉｓｉｎｔｈｅｐｏｉｎｔｏｆｖｉｅｗｏｆｄｉｆｆｅｒ－ ｅｎｔｉａｌａｎｄｔｈｅｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｓｏｆｔｈｅＬｉｅ－ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｉｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｇｅｏｍｅｔｒｙｖｉｅｗｅｄｆｒｏｍｆｉｅｌｄａｒｇｕｍｅｎｔｗｉｔｈ ｔｈｅｒｅｌａｔｅｄｒｅｓｕｌｔｓａｒｅｏｕｒｏｗｎｃｏｇｎｉｔｉｏｎｓ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍ；ｋｎｏｗｌｅｄｇｅｐｏｉｎｔ；ｋｎｏｗｌｅｄｇｅｅｌｅｍｅｎｔ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｇｅｎｅｒａｌｉｔｙ；ｃａｌｃｕｌｕｓ； ｔｅｎｓｏｒａｎａｌｙｓｉｓ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｇｅｏｍｅｔｒｙ；ｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓ １７世纪，牛顿力学体系的建立标志着自然科学的兴起；１８－１９世纪，连续介质力学的诞生使力学发展 成为一门内容丰富并且获得广泛应用的基础科学。① 马克思曾指出“力学是大工业的真正的科学基础”。 随着科学技术的发展，现代力学的研究范畴从传统的刚性机械运动延拓至可变形的复杂介质运动，从纯机 械世界延拓至机械与物理、化学、生物学等过程的相互作用，甚至渗透至经济、管理、医学等领域②。钱学 森先生在２００７年对中国力学学会成立五十周年之际的贺词中指出：“力学有两方面的服务对象：一是为工 程技术服务，另一是为发展自然科学服务，两者是相辅相成，相互促进的”。 力学学科的上述特征，使得力学知识体系别具特色，她既需要庞大而坚实的数学支撑，又需要联系丰 富而多样的自然现象。进而，力学知识体系不仅对研究者提升自身工作层次而且对人才培养等方面都具 有极其重要的意义。 本文拟从力学之数学及专业基础知识体系，微积分知识体系的辐射性发展特征，知识体系架构（知识 点及知识要素），数学通识，数学知识体系同力学知识体系的关系等方面叙述我们持续性追求具有现代 化及一流化特征的力学知识体系所获得的阶段性认识。 １ 力学之数学及专业基础知识体系 按通行的理论与应用力学专业（以下简称力学专业）的课程设置，力学知识体系可以分为数学以及专 业知识体系二部分。数学知识体系，主要包括：微积分及线性代数（核心基础）→①复变函数＋复分析；② 常微分方程＋偏微分方程；③概率论＋数理统计；④微分几何；⑤实分析＋泛函分析等。专业知识体系，主 要包括：理论力学及材料力学（核心基础）→①弹性力学＋塑性力学；②流体力学＋空气动力学；③振动力 学；④控制力学等。③ 鉴于微积分在整个数学知识体系中的核心地位，本文将微积分作为力学之数学基础知识体系。基于 对国内外具有一流水平的教程或专著的调研［１－６］④ ，我们通过图１表示微分学和积分学所能包含的主要内 容。 相对于当前国内力学专业的必修内容，具有国内外一流水平的微积分教学表现为如下特征：①将微分 学由有限维Ｅｕｃｌｉｄ空间延拓至一般赋范线性空间⑤；②将积分学由Ｒｉｅｍａｎｎ积分延拓至Ｊｏｒｄａｎ测度、Ｌｅｂ－ ｅｓｇｕｅ测度意义下的积分⑥；③将微积分研究对象由可单个参数化的几何形态延拓至需多个参数化的几何 形态，亦即建立微分流形上的微积分⑦。需指出，国内现行微积分课程设置一般为一年或一年半制（一般 第４期 谢锡麟：“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 ５４５ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 《中国力学学科发展战略研究报告（２０１１－２０２０年）》。 李家春院士，周恒院士对复旦大学力学与工程科学系进行学术访问时都指出。 参见《２０１１年理论与应用力学专业教育教学复旦大学研讨会－学术信息整理》，谢锡麟、傅渊、杜俊、陈瑜整理；与会代表间交流，未 公开发表。 对于相关知识体系，本文参考文献部分仅列出笔者日常最常用的学习与参阅的教程或专著；尚有很多优秀著作未能列举。 Ｖ．Ａ．Ｚｏｒｉｃｈ著“ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓ”的卷２，对一般赋范线性空间上的微分学给予了极其优越的叙述，相关理论的建立可以完 全类比与有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的微分学。张筑生著《数学分析新讲》第２册，对有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的微分学给予了极好叙述，且能非常好 地衔接与一般赋范线性空间上的微分学。 对于力学而言，可能我们既需要有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的测度论也需要一般集类的测度论，对此周民强编 著《实 变 函 数 论》（北 京 大 学出版社 ２００９）以及夏道行、吴卓人、严绍宗、舒五昌编著《实变函数论与泛函分析》（上册）（高等教育出版社 ２０１０）分别有很好的叙述。 Ｖ．Ａ．Ｚｏｒｉｃｈ著“ＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｙｓｉｓ”的卷１及卷２，对微分流形的基本定义有极好的叙述，指出对于图（ｃｈａｒｔ）的定义可以既基 于微分同胚也可以基于秩定理
546 力学季刊 第33卷 R上微分学 a,b]上 C Riemann积分 Rm上 Jordan可测集上 Riemann积分 Rm上微分学 (R中微分流形上微分学 R上 Lebesgue测度及 Lebesgue积分 (R中微分流形上积分学) 一般赋范线性空间上微分学 般集类上测度及积分 图1微分学及积分学知识体系框架 Fig. 1 The frames of the knowledge systems with respect to differential calculus and integral (right) 对应于非数学以及数学专业),故我们可以设计系列课程(包括选修课)以完成上述知识体系的讲述口。随 着,我们对自然及非自然世界认识的深入,按上述特征提升我们的微积分知识体系具有深远的意义。 鉴于力学的主要研究隶属连续介质力学并因此而独立于物理学,故本文将现代张量分析以及基于 其上的连续介质力学作为力学之专业基础知识体系 基础理论课程 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学 固体力学 非 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学基础 固体力学基础 血液动力学 连续介质力学一般理论 弹塑性力学 (物质系统: Euclid流形,非 Euclid流形) 流体力学 涡量与涡动力学基础涡量空气动力学 图2现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系 Fig. 2 The frame of the knowledge systems with respect to dern tensor analysis with continuum mechanics based on it 连续介质力学可谓力学学科的基石。类比于单参数向量值映照对于质点以及刚体力学研究的基础性 作用,作为多重线性函数的张量对于研究连续介质的有限变形等力学行为也是极为适合的数学工具。以 微积分的思想及方法研究单参数向量值映照或者多重线性函数,构成了向量分析或者张量分析的主要内 容。对于现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系,如图2所示,我们注重以下特征①:①对 于 Euclid空间②上的张量分析,主要表现为将张量定义为多重线性函数,籍此基于简单张量获得张量的表 达形式,张量分量间的转换关系等;引入外积运算,以此研究二阶张量的各种代数性质等;基于一般赋范线 性空间上的微分学,研究张量场映照微分学以此开展一般曲线坐标系下张量场场论,研究一般张量映 照12。②对于非 Euclid空间( Riemann流形)③上的张量分析,主要表现为引入微分流形上微积分的基本 ①按本文作者相关教学研究与实践的现有程度,仅实现特征①;对特征②、③涉及的非 Euclid微分流形上的张量分析以及基于其上 的连续介质力学尚在进一步研究与实践中。此方面的研究可隶属“力学的几何化”。“力学几何化”的思想及方法在V.L. Arnold的系列著 作中有着系统且深入的阐述,包括《经典力学的数学方法》、“ Ordinary Differential Equation”,“ Partial Differential Equations'”,“ Topological ②本文中出现的 Euclid空间以及 Euclid微分流形指分析中 Rieman-Christoffel张量处处为零 ③本文中出现的非 Euclid空间以及非 Euclid微分流形指分析中 Riemann-Christoffel张量非处处为零 o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
图１ 微分学及积分学知识体系框架 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅｆｒａｍｅｓｏｆｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｃａｌｃｕｌｕｓａｎｄｉｎｔｅｇｒａｌ（ｒｉｇｈｔ） 对应于非数学以及数学专业），故我们可以设计系列课程（包括选修课）以完成上述知识体系的讲述［７］ 。随 着，我们对自然及非自然世界认识的深入，按上述特征提升我们的微积分知识体系具有深远的意义。 鉴于力学的主要研究隶属连续介质力学并因此而独立于物理学，故本文将现代张量分析［８］ 以及基于 其上的连续介质力学［９－１１］ 作为力学之专业基础知识体系。 图２ 现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系 Ｆｉｇ．２ Ｔｈｅｆｒａｍｅｏｆｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍｓｗｉｔｈｒｅｓｐｅｃｔｔｏ ｍｏｄｅｒｎｔｅｎｓｏｒａｎａｌｙｓｉｓｗｉｔｈｃｏｎｔｉｎｕｕｍ ｍｅｃｈａｎｉｃｓｂａｓｅｄｏｎｉｔ 连续介质力学可谓力学学科的基石。类比于单参数向量值映照对于质点以及刚体力学研究的基础性 作用，作为多重线性函数的张量对于研究连续介质的有限变形等力学行为也是极为适合的数学工具。以 微积分的思想及方法研究单参数向量值映照或者多重线性函数，构成了向量分析或者张量分析的主要内 容。对于现代张量分析以及基于其上的连续介质力学知识体系，如图２所示，我们注重以下特征①：①对 于 Ｅｕｃｌｉｄ空间②上的张量分析，主要表现为将张量定义为多重线性函数，籍此基于简单张量获得张量的表 达形式，张量分量间的转换关系等；引入外积运算，以此研究二阶张量的各种代数性质等；基于一般赋范线 性空间上的微分学，研究张量场映照微分学以此开展一般曲线坐标系下张量场场论，研 究 一 般 张 量 映 照［１２］ 。②对于非 Ｅｕｃｌｉｄ空间（Ｒｉｅｍａｎｎ流形）③上的张量分析，主要表现为引入微分流形上微积分的基本 ６４５ 力 学 季 刊 第３３卷 ① ② ③ 按本文作者相关教学研究与实践的现有程度，仅实现特征①；对特征②、③涉及的非 Ｅｕｃｌｉｄ微分流形上的张量分析以及基于其上 的连续介质力学尚在进一步研究与实践中。此方面的研究可隶属“力学的几何化”。“力学几何化”的思想及方法在 Ｖ．Ｉ．Ａｒｎｏｌｄ的 系 列 著 作中有着系统且深入的阐述，包括《经典力学的数学方法》、“ＯｒｄｉｎａｒｙＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ”，“ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ”，“Ｔｏｐｏｌｏｇｉｃａｌ ＭｅｔｈｏｄｓｉｎＨｙｄｒｏｄｙｎａｍｉｃｓ”等。 本文中出现的 Ｅｕｃｌｉｄ空间以及 Ｅｕｃｌｉｄ微分流形指分析中 Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ张量处处为零。 本文中出现的非 Ｅｕｃｌｉｄ空间以及非 Ｅｕｃｌｉｄ微分流形指分析中 Ｒｉｅｍａｎｎ－Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ张量非处处为零
第4期 谢锡麟:“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 思想及方法;基于相对不同曲线坐标系下的分量间的转换关系定义张量, Riemann度量、 Riemann联络 ( Christoffel符号)以及协变微分等①。从思想和方法上而言,非 Euclid空间上的张量分析应涵盖 Euclid空 间上的张量分析。③按理性力学的观点研究连续介质力学,首先基于连续介质的几何形态区分 Euclid微 分流形以及非 Euclid微分流形,然后充分基于力学、物理、现代张量分析以及现代微分几何等的思想及方 法研究发生于连续介质之上的力学、物理,甚至化学、生理过程等②。 对于各门知识体系,我们先将其归类成若干“知识点”( knowledge point),而每个知识点又由若干“知 识要素”( knowledge element)组成。知识点为认识或处理相关问题所需的定义、结论以及相关研究思想 及方法的知识集合,具有一定独立性或功用性;知识要素即为上述知识集合的核心内容。以“知识点+知 识要素”组织知识体系,有助于澄清知识体系的发展脉络及发展特征。 2微分学知识体系的辐射性发展特征 众所周知,微积分的核心基础为极限,理解对某种“逼近行为”的刻画。进一步,微积分中的极限可以 归纳为三类:点列极限,包含级数定义;映照极限,包含可微性定义;部分和极限,主要用于各类积分定义。 从广度而言,微积分知识体系主要包括微分学、积分学以及级数;从深度而言,可以分类为一维 Euclid 空间R1、有限维 Euclid空间Rm以及一般赋范线性空间上的微分学 一般赋范线性空间上微积分 赋范线任空间之间极限R上微积分顺类测度论 眼R上微积分加可测集)积分 国数极限 定积分) 点列限 逼近行为 部分和 雨数导数 反函数定理 向量值映照可微性 隐映照、逆映定理 赋范线性空间之间快照可微性 赋范线性空间上隐映/逆映照定理 图3微积分知识体系的辐射式发展特征 Fig. 3 The sketch of the radical development property of the knowledge system of calculus 对于一维 Euclid空间上的微积分,我们可以归纳函数极限,函数导数,定积分,反函数定理等知识点 然而,这些知识点的归纳仍然适用于有限维 Euclid空间,甚至一般赋范线性空间上的微积分知识体系,如 图3所示。特别对于微分学而言,各层次上的知识体系具有高度的相似性,表现为知识点基本一致,且理 论发展的基本思想及方法基本一致。对此我们在教学中,充分反映“温故而知新”的认知效果,注重基于已 ①(俄)米先柯,(俄)福明柯著(张爱和译)《微分几何与拓扑学简明教程 相关知识体系的建立提供很好的借鉴。 ②李开泰,黄艾香著《张量分析及其应用》(科学出版社2004)涉及张量 流体机械等方面的应用 o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
思想及 方 法；基于相对不同曲线坐标系下的分量间的转换关系定义张量，Ｒｉｅｍａｎｎ度 量、Ｒｉｅｍａｎｎ联 络 （Ｃｈｒｉｓｔｏｆｆｅｌ符号）以及协变微分等①。从思想和方法上而言，非Ｅｕｃｌｉｄ空间上的张量分析应涵盖Ｅｕｃｌｉｄ空 间上的张量分析。③按理性力学的观点研究连续介质力学，首先基于连续介质的几何形态区分 Ｅｕｃｌｉｄ微 分流形以及非 Ｅｕｃｌｉｄ微分流形，然后充分基于力学、物理、现代张量分析以及现代微分几何等的思想及方 法研究发生于连续介质之上的力学、物理，甚至化学、生理过程等②。 对于各门知识体系，我们先将其归类成若干“知识点”（ｋｎｏｗｌｅｄｇｅｐｏｉｎｔ），而每个知识点又由若干“知 识要素”（ｋｎｏｗｌｅｄｇｅｅｌｅｍｅｎｔ）组成。知识点为认识或处理相关问题所需的定义、结论以及相关研究思想 及方法的知识集合，具有一定独立性或功用性；知识要素即为上述知识集合的核心内容。以“知识点＋知 识要素”组织知识体系，有助于澄清知识体系的发展脉络及发展特征。 ２ 微分学知识体系的辐射性发展特征 众所周知，微积分的核心基础为极限，理解对某种“逼近行为”的刻画。进一步，微积分中的极限可以 归纳为三类：点列极限，包含级数定义；映照极限，包含可微性定义；部分和极限，主要用于各类积分定义。 从广度而言，微积分知识体系主要包括微分学、积分学以及级数；从深度而言，可以分类为一维 Ｅｕｃｌｉｄ 空间瓗１、有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间瓗ｍ 以及一般赋范线性空间上的微分学。 图３ 微积分知识体系的辐射式发展特征 Ｆｉｇ．３ Ｔｈｅｓｋｅｔｃｈｏｆｔｈｅｒａｄｉｃａｌｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｐｒｏｐｅｒｔｙｏｆｔｈｅｋｎｏｗｌｅｄｇｅｓｙｓｔｅｍｏｆｃａｌｃｕｌｕｓ 对于一维 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的微积分，我们可以归纳函数极限，函数导数，定积分，反函数定理等知识点。 然而，这些知识点的归纳仍然适用于有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间，甚至一般赋范线性空间上的微积分知识体系，如 图３所示。特别对于微分学而言，各层次上的知识体系具有高度的相似性，表现为知识点基本一致，且理 论发展的基本思想及方法基本一致。对此我们在教学中，充分反映“温故而知新”的认知效果，注重基于已 第４期 谢锡麟：“正本清源”在力学之数学及专业基础知识体系建立中的作用 ７４５ ① ② （俄）米先柯，（俄）福明柯著（张爱和译）《微分几何与拓扑学简明教程》应对相关知识体系的建立提供很好的借鉴。 李开泰，黄艾香著《张量分析及其应用》（科学出版社 ２００４）涉及张量分析在流体机械等方面的应用
548 力学季刊 第33卷 有的知识发展新的知识 2.1辐射性发展事例:映照可微性 映照可微性的实质为由于自变量变化而引起的因变量的变化可由线性映照近似,且误差为一阶无穷 小量;“导数”以及“微分”则按映照的类型具有相应的表现形式。上述映照的可微性刻画需要自变量空间 及值域空间均为赋范线性空间。本文按此统一认识列举力学中涉及的主要映照类型如下 §1.有限维 Euclid之间的向量值映照:f(x):Rm3x→f(x)∈R”,其可微性定义为 f(x+h)=f(x)+(x)(h)+0(11-),此处(x)∈L(R,R” 引入R上范数:|年|=√(,m,则有 r(x+h)=(x)+D(x)·h+0(1h1)∈R,此处D(x)=「9厂(x)1∈Rx0 §2.张量场映照:(x):R"→3x→更(x)仝(x)g⑧g⑧g(x)∈T(R),此处以R"上三阶 张量为例,其可微性定义为 (x+h)=p(x)+(x)(h)+0(|h|g-),此处(x)∈L(R",r(R“) 引入T2(R")上范数:④|(a",△√⊙=√④,则有 (x+h)=(x)+V西(x)g、⑧g②g(x)·h2+o(h|a) 中(x)+[V,(x)g,②g②gA⑧g(x)]·[hg1(x)]=:重(x)+(V)(x)·H∈T(R") 此处(x)(h)=(更⑧V)(x)·h,H:=hg(x)为物理空间中的位移。可见,张量分析中张量场的梯 度实质为张量场的“导数”②。 §3.泛函:C(m)3f(x)→FL门△L(x,f(x),Vf(x)dr∈R,其可微性定义为 F(f+h)=F(f+(f(h)+o(h|c(a),此处(f)∈L(C(a),R 利用微分同方向导数间的关系:①(0)(h)=D.F(DAm5((+xh)-FCP∈R③,可基于微积分获 得变分临界点所需满足的 Lagrange-Euler方程 dr al(r, f (x),V/(r))ok(r, /(x), Vf(x))=0. 2.2辐射性发展事例:隐映照定理及逆映照定理 有限维 Euclid空间中的隐映照定理及逆映照定理(微分同胚局部存在性定理)可谓有限维 Euclid空 间上微分学中最为困难和最为重要的结论。上述定理,无论在数学领域还是力学领域都有诸多重要的应 用,例如前者为约束表示,后者为 Legendre变换提供了理论基础 ①可参见张筑生著《数学分析新讲》第2册。 ②按本文作者所知,尚未见张量分析有关教程或专著以此方法引入张量场梯度(其分量形式自然涉及协变导数的定义)。基于多次 教学实践,本文认为就 Euclid空间上的张量分析以张量场可微性引入张量场梯度显得较为严格;作为一般赋范线性空间上微分学的具体实 践,也易于获得张量场高阶导数等具体形式。另一方面,基于张量场的可微性,即可获得张量场方向导数(包含偏导数)的表达式,籍此可迺 过引入形式偏导数获得张量场的各种场论微分运算 ③相关教程中泛函变分的具体计算基本采用方向导数的形式;但指明此做法的依据为泛函微分等于相应的方向导数有助于正本清 源,按一般赋范线性空间上的微分学,任何赋范线性空间之间映照的微分都等于相应的方向导数,且高阶微分的计算也表现为多次方向导 数的计算 o1994-2013CHinaAcademicJournalElectronicpUblishingHouse.Allrightsreservedhttp://www.cnki.net
有的知识发展新的知识。 ２．１ 辐射性发展事例：映照可微性 映照可微性的实质为由于自变量变化而引起的因变量的变化可由线性映照近似，且误差为一阶无穷 小量；“导数”以及“微分”则按映照的类型具有相应的表现形式。上述映照的可微性刻画需要自变量空间 及值域空间均为赋范线性空间。本文按此统一认识列举力学中涉及的主要映照类型如下 §１．有限维 Ｅｕｃｌｉｄ之间的向量值映照：ｆ（ｘ）：瓗ｍ Ω瓡ｘ →ｆ（ｘ）∈瓗ｎ ，其可微性定义为 ｆ（ｘ＋ｈ）＝ｆ（ｘ）＋ｄｆ ｄｘ（ｘ）（ｈ）＋ｏ（｜ｈ｜瓗ｍ ），此处ｄｆ ｄｘ（ｘ）∈Ｌ（瓗ｍ ，瓗ｎ ） 引入瓗ｍ 上范数：｜ξ｜瓗ｍ ＝ 槡（ξ，ξ）瓗ｍ ，则有 ｆ（ｘ＋ｈ）＝ｆ（ｘ）＋Ｄｆ（ｘ）·ｈ＋ｏ（｜ｈ｜瓗ｍ ）∈瓗ｎ ，此处 Ｄｆ（ｘ）＝ ｆα ｘ［ ］ ｉ（ｘ） ∈瓗ｎ×ｍ ① 。 §２．张量场映照：Φ（ｘ）：瓗ｍ Ω瓡ｘ →Φ（ｘ）Φｉ·ｋ ·ｊ （ｘ）ｇｉｇｊ ｇｋ（ｘ）∈Ｔ３（瓗ｍ ），此处以瓗ｍ 上三阶 张量为例，其可微性定义为 Φ（ｘ＋ｈ）＝Φ（ｘ）＋ｄΦ ｄｘ（ｘ）（ｈ）＋ｏ（｜ｈ｜瓗ｍ ），此处ｄΦ ｄｘ（ｘ）∈Ｌ（瓗ｍ ，Ｔ３（瓗ｍ ））。 引入 Ｔ３（瓗ｍ ）上范数：｜Φ｜Ｔ３（瓗ｍ ） 槡Φ⊙Φ＝ Φｉｊｋ 槡 Φｉｊｋ，则有 Φ（ｘ＋ｈ）＝Φ（ｘ）＋ｌΦｉ·ｋ ·ｊ （ｘ）ｇｉｇｊ ｇｋ（ｘ）·ｈｌ ＋ｏ（｜ｈ｜瓗ｍ ） Φ（ｘ）＋［ｐΦｉ·ｋ ·ｊ （ｘ）ｇｉｇｊ ｇｋｇｐ （ｘ）］·［ｈｌ ｇｌ（ｘ）］＝：Φ（ｘ）＋（Φ）（ｘ）·Ｈ∈Ｔ３（瓗ｍ ） 此处ｄΦ ｄｘ（ｘ）（ｈ）＝（Φ）（ｘ）·ｈ，Ｈ：＝ｈｌ ｇｌ（ｘ）为物理空间中的位移。可见，张量分析中张量场的梯 度实质为张量场的“导数”②。 §３．泛函：Ｃｐ （Ω）瓡ｆ（ｘ）→Ｆ［ｆ］∫Ω Ｌ（ｘ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ））ｄτ∈瓗，其可微性定义为 Ｆ（ｆ＋ｈ）＝Ｆ（ｆ）＋ｄＦ ｄｆ（ｆ）（ｈ）＋ｏ（｜ｈ｜Ｃｐ （Ω）），此处ｄＦ ｄｆ（ｆ）∈Ｌ（Ｃｐ （Ω），瓗）。 利用微分同方向导数间的关系：ｄＦ ｄｆ（ｆ）（ｈ）＝ＤｈＦ（ｆ）ｌｉｍλ→０ Ｆ（ｆ＋λ·ｈ）－Ｆ（ｆ） λ ∈瓗③，可基于微积分获 得变分临界点所需满足的 Ｌａｇｒａｎｇｅ－Ｅｕｌｅｒ方程 ｄ ｄｘ Ｌ ｆ ［ ］ （ｘ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ）） －Ｌ ｆ（ｘ，ｆ（ｘ），ｆ（ｘ））＝０。 ２．２ 辐射性发展事例：隐映照定理及逆映照定理 有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空间中的隐映照定理及逆映照定理（微分同胚局部存在性定理）可谓有限维 Ｅｕｃｌｉｄ空 间上微分学中最为困难和最为重要的结论。上述定理，无论在数学领域还是力学领域都有诸多重要的应 用，例如前者为约束表示，后者为Ｌｅｇｅｎｄｒｅ变换提供了理论基础。 ８４５ 力 学 季 刊 第３３卷 ① ② ③ 可参见张筑生著《数学分析新讲》第２册。 按本文作者所知，尚未见张量分析有关教程或专著以此方法引入张量场梯度（其分量形式自然涉及协变导数的定义）。基 于 多 次 教学实践，本文认为就 Ｅｕｃｌｉｄ空间上的张量分析以张量场可微性引入张量场梯度显得较为严格；作为一般赋范线性空间上微分学的具体实 践，也易于获得张量场高阶导数等具体形式。另一方面，基于张量场的可微性，即可获得张量场方向导数（包含偏导数）的表达式，籍此可通 过引入形式偏导数获得张量场的各种场论微分运算。 相关教程中泛函变分的具体计算基本采用方向导数的形式；但指明此做法的依据为泛函微分等于相应的方向导数有助于正本清 源。按一般赋范线性空间上的微分学，任何赋范线性空间之间映照的微分都等于相应的方向导数，且高阶微分的计算也表现为多次方向导 数的计算