(10)解法1由u(3-5) (=sx-5)=-5k“at 解法2由相似性质 由位移性质 (1)因为-)-1-c>00 所以 (12)利用t 及位移性质 el(I 2.若()=F(s),a为正实数,证明(相似性质)(am)=1r(s) 证af(a)=。f(ar)ed=-fan)ed(a)=F(=) 3.若[f()]=F(s),证明F("(s)=e(-)”f(),Re(s)>c。特别yf()=-F(s),或 f(1)=--[F(s)],并利用此结论,计算下列各式: (1)f()=esn2r,求F(s):(2)fO= e"sin2h,求F(s) (3)F(s)=h+1 求f():(4)f(1)=esin2d,求F(s) 解F"(s)=c[f() dso Jo ()e"d=*" f()e"Jot=。(-)”f(le-t
（10）解法 1 由 ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < > − = 3 5 3 5 0, 1, 3 5 t t u t &[f ( )t ] = &[ ] ( ) ( ) ∫ +∞ − − = − 0 u 3t 5 u 3t 5 e dt st ∫ +∞ − +∞ = − − = − = = 3 5 3 5 3 | 5 s e s e e dt s t st st 解法 2 由相似性质 &[ ] ( ) s s u t 1 3 1 3 1 3 = ⋅ = 由位移性质 &[ ] u(3t − 5) = & } 3 5 { 3 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ u t − s e 3 5 − = & ( ) 5 3 3 s e u t s − ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ （11）因为 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − < < − > > − = − − − 1 0, 0 1 0, 0 0, 1, 1 e t e t u e t t t 所以 &[ ] ( ) ( ) ∫ ∫ +∞ − +∞ − = = = 0 0 1 s f t f t e dt e dt st st （12）利用& 2 1 2 1 2 1 2 1 s s t π = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Γ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − 及位移性质 &[f (t)] = & 3 3 − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ t s e t π 2．若&[ ( f t)] = F(s) ， a 为正实数，证明（相似性质）& 1 [ ( )] ( ) s f at F a a = 。 证 & 0 0 1 1 [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) s at st a s f at f at e dt f at e d at F a a +∞ +∞ − − = = = ∫ ∫ a 3．若&[ ( f t)] = F(s) ，证明 ( ) ( ) n F s = &[( ) ( )]，Re 。特别&[ ( ，或 n −t f t (s) > c tf t)] = −F '(s) f ( )t = 1 t − & ，并利用此结论，计算下列各式： 1 [ ' F s( )] − （1） 3 ( ) sin 2 t f t te− = t ，求 F s( )；（2） 3 0 ( ) sin 2 t t f t t e td − = ∫ t ，求 F s( )； （3） 1 ( ) ln 1 s F s s + = − ，求 f (t)； （4） 3 0 ( ) sin 2 t t f t te t − = ∫ dt ，求 F s( )。 解 ( ) ( ) n F s = n n d ds &[ ( f t)] 0 0 0 ( ) [ ( ) ] ( ) ( ) n n st st n st n n d d f t e dt f t e dt t f t e dt ds ds +∞ +∞ +∞ − − = = = − ∫ ∫ ∫ − - 6 -
=c[(-1)"f()],Re(s)>c。 (1)利用公式()=-F(s) 2t ele sin 2t 4(S+3) (S+3)+2 (s+3)+4 (2)由积分性质 e-r sin 2rd s(ds+3)+4 再由像函数的微分公式 )=「 s(+3)+4 (3)F()=/h1 ezt-sinht, nf(0=-sinht (4)s[f()= te-sin 2td 1 若f()=F(s),证明<() ∫oM,(0=[POM并利用此 结论,计算下列各式 (1) f(sin kt ,求F(s) (2)f(1)= sin21,求F(s) (3)F(s)= ,求f(t) (4)f() esin2dt,求F(S) 解∫F(s)=「,(-d=Jmol-h= f(De"d=df( sin kt (1)F(s)= du= arctan =--arctan - arc cot (2)F(s)=e desim2zl-r de="snalu-r' du= arctan u+3)2+4 s+3 arctan arc cot du
＝&[( ) ( )]， Re 。 n −t f t (s) > c （1）利用公式&[ ] tf (t) = −F'(s) &[f ( )t ] = & 3 sin 2 t d te t ds − ⎡ ⎤ = − ⎣ ⎦ & 3 [ sin 2 ] t e t − 2 2 2 2 2 4( ( 3) 2 ( 3) 4 s s s ⎛ ⎞ + = −⎜ ⎟′ = ⎝ ⎠ + + ⎡ ⎤ + + ⎣ ⎦ 3) （2）由积分性质 & s e d t 1 sin 2 0 3 =⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∫ − τ τ τ &[ ] ( ) 3 4 1 2 sin 2 2 3 + + = ⋅ − s s e t t 再由像函数的微分公式 &[f ( )t ] = & ( ) ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + + = − ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∫ − [ 3 4] 2 sin 2 2 0 3 ds s s d t e d t τ τ τ ( ) [ ] ( ) 2 2 2 2 3 4 2 3 12 13 + + + + = s s s s （3） 2 1 1 '( ) ln ' 2 1 1 s F s s s ⎛ ⎞ + = = ⎜ ⎟ − = ⎝ ⎠ − − & 2 t t inh ] t [ s ，知 2 f ( )t t sinh t = （4）&[f ( )t ] = & 3 0 1 sin 2 t t te tdt s ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ &[te t] t sin 2 −3 ( ) [ ] ( ) 2 2 3 4 4 3 + + + = s s s 4．若&[ ( f t)] = F(s) ，证明& ( ) ( ) s f t F s ds t ⎡ ⎤ ∞ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ ，或 f ( )t t = &－1 ( ) s F s ds ∞ ⎡ ⎤ ⎢⎣ ⎥⎦ ∫ 。并利用此 结论，计算下列各式： （1） sin ( ) kt f t t = ，求 F s( )； （2） 3 sin 2 ( ) t e t f t t − = ，求 F s( )； （3） 2 ( ) ( 1) s F s s = − 2 ，求 f (t)； （4） 3 0 sin 2 ( ) t t e t f t dt t − = ∫ ，求 F s( )。 解 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) st st st s s s f t F s ds f t e dtds f t e dsdt e dt t ∞ ∞ +∞ +∞ ∞ +∞ − − − === = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ & f ( )t t ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ （1） F( )s = & sin s kt t ⎡ ⎤ ∞ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∫ &[sin kt]du 2 2 arctan | s s k u du u k k ∞ ∞ = = + ∫ arctan 2 s k π = − arc cot s k = （2） F( )s = & ∫ ∞ − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ s t t e sin 2t 3 &[ ] e t du t sin 2 −3 ( ) ∫ ∞ + ∞ = + + = s s u du u | 2 3 arctan 3 4 2 2 2 3 arctan 2 + = − π s 2 3 arc cot + = s （3） f ( )t = t & ( ) 1 2 2 1 s u du t u ∞ − ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ∫ & ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⋅ − ∞ − s u 1 1 2 1 2 1 = t & ( ) t t t e e s s − − = − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − ⋅ − ⋅ 4 1 1 1 4 1 1 1 4 1 1 t t sh 2 = - 7 -
(4)F()= sin 2t 计算下列积分 (2)/1-cost e- cos bt -e cos nt (4 e"cos 2tdt (6) te sin tdt t3e (1)["erf idr 2), Jo(Odr 其中er=一元=。"如称为误差函数,J() (-1)(t) x(2(2/称为零阶贝塞尔(Bes) 解()由公式“八d=sU小得 14-m2 e-a cos bt -e S十a cos bt -e cosnt +4+b-(G+m)+的 s+ m+n 2a2+b2 (4已知cko2-cose"t 因此 (5 已知2小=二2再由微分性顾d21(24 得 dt 2+4 mma=2mp4斗m4m 2+-+17 ds=-arctanls+ arctan ls+v2+
（4） F( )s = & s d te sin 2 1 0 3 ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ − τ τ τ τ & ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − t e sin 2t 3τ ∫ ∞ = ⋅ s s 1 &[ ] ∫ ∞ − + + == ⋅ s t du s u e t du ( 3) 4 1 2 sin 2 2 3 2 3 arc cot 1 2 3 arctan 1 | + = + = ∞ = s s u s u s 5．计算下列积分： (1) ∫ +∞ − − − 0 2 dt. t e e t t (2) ∫ +∞ − − 0 1 cos e dt t t t (3) ∫ +∞ − − − 0 cos cos dt t e bt e nt at mt (4) cos 2 . (5) (6) 0 3 ∫ +∞ − e tdt t . 0 2 ∫ +∞ − te dt t sin 2 . 0 3 ∫ +∞ − te tdt t (7) . sh sin 0 2 ∫ +∞ − ⋅ dt t e t t t (8) . sin 0 2 ∫ +∞ − dt t e t t (9) sin . 0 3 ∫ +∞ − t e tdt t (10) ∫ +∞ 0 2 2 sin dt t t . (11) 0 erf . t e t +∞ − ∫ dt (12) 0 0 J (t d) t. +∞ ∫ 其中 2 0 2 erf t u t e π − = ∫ du 称为误差函数， 2 0 2 0 ( 1) J ( ) ( !) 2 k k k t t k +∞ = − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 称为零阶贝塞尔(Bessel)函 数。 解 (1)由公式 ( ) ∫ ∫ +∞ ∞ = 0 0 dt t f t &[f ( )t ]ds 得 ∫ ∫ +∞ ∞ − − = − 0 0 2 dt t e e t t &[ ] ds s s e e ds t t ∫ ∞ − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + − = 0 2 2 1 1 1 ln 2 2 1 ln | 0 = + + = ∞ s s (2) ∫ ∫ +∞ ∞ − = − 0 0 1 cos t e t &[ ] e ( )t ds t 1− cos − ( ) ∫ ∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + = 0 2 1 1 1 1 1 ds s s s ( ) ln 2 2 1 1 1 1 ln | 2 0 = + + + = ∞ s s (3) ∫ ∫ +∞ ∞ − − = − 0 0 cos cos dt t e bt e nt at mt &[e bt e nt]ds at mt cos cos − − − ( ) ( ) ds s m n s m s a b s a ∫ ∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + + + = 0 2 2 2 2 ( ) ( ) | 0 2 2 2 2 ln 2 1 ∞ = + + + + = s s m n s a b 2 2 2 2 ln 2 1 a b m n + + = (4)已知 &[ ] ∫ +∞ − + = ⋅ = 0 2 4 cos 2 cos 2 s s t t e dt st ，因此 ∫ +∞ = − = + = 0 2 3 3 13 3 4 cos 2 s t s s e tdt (5) &[ ] ∫ +∞ − = 0 2 te dt t 4 1 1 2 2 2 = = = = s s s t (6)已知&[ ] 4 2 sin 2 2 + = s t 再由微分性质&[ ] ( )2 2 2 4 4 4 2 sin 2 + ⎟′ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − s s s t t 得 ( ) ∫ +∞ = − = + = 0 2 3 2 3 169 12 4 4 sin 2 s t s s te tdt ( )∫ ∫ +∞ ∞ − = ⋅ 0 0 2 sh sin 7 dt t e t t t & t ds e e e t t t ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − sin 2 2 ∫ ∞ = 2 0 1 & ( ) ( ) [e t e t]ds t t sin sin − 2 −1 − 2 +1 − ( ) ( ) ds s s ∫ ∞ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + − + = 0 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = + − − + + ∞ ∞ | | 0 0 arctan 2 1 arctan 2 1 2 1 s s - 8 -
ctanlv2+1l-arctan n(2-)= arctan=T (8)5e sin'-dr=m"ale-'sin'As=r ale(-cos 2)ls -In s+1 In 5 2s+1(s+1)+4 (s+1)+4 9已知cm-利用微分性顾cwm小-{ 243-24s 24 (10 厂m2a=m=mm2am2 So ac(sin 21]s=- ds =arctan= 1)∫ e-terf idt=ef 12)JmJ=c[( 6.求下列函数的拉氏逆变换 (1)F()= (2)F(G)=1 (3)F(s) s2+4 (s+1) (4)F(s) (5)F()=2+3 (6)F(s) s+3 s+lXs-3 (7)F(s)= (8) s"+s s2+4s+ s2+4 (3)由e r3及位移性质s[F(-a)=e“f()得 f()=c[F(s) (s+1) (4)f()=s[F()= s+3 (5)(0=(=2+231=2s3X+smy
[ ] arctan( ) 2 1 arctan( 2 1) 2 1 = + − − 8 arctan1 2 1 π = = (8) ∫ ∫ +∞ +∞ − = 0 0 2 sin dt t e t t &[ ] ∫ ∞ − = 0 2 2 1 e sin t ds t &[e ( t)]ds t 1− cos 2 − ( ) ( ) | 0 2 0 2 1 4 1 ln 2 1 1 4 1 1 1 2 1 ∞ ∞ + + + ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + = ∫ s s ds s s s ln 5 4 1 = (9)已知&[ ] , 1 1 sin 2 + = s t 利用微分性质&[ ] ( )4 2 3 2 3 4 24 24 1 1 sin + − ⎟″′ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = − s s s s t t ∫ +∞ − = 0 3 t e sin tdt t &[ ] ( ) 0 4 24 24 sin 1 4 2 3 1 3 = + − = = = s s s s s t t (10) ∫ ∫ +∞ +∞ ⎟′ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − 0 0 2 2 2 1 sin sin dt t dt t t t ∫ ∫ ∞ +∞ +∞ = − + = 0 0 0 2 sin sin 2 sin 2 | dt t t dt t t t t ∫ ∞ = 0 &[ ] ∫ ∞ + = 0 4 2 sin 2 ds s t ds 2 2 arctan | 0 π = = s ∞ (11) 0 erf t e tdt +∞ − = ∫ & 1 1 1 2 erf( ) s 1 2 s t = s s = ⎡ ⎤ = = ⎣ ⎦ + (12) 0 &[ ] 0 J (t d) t +∞ = ∫ 0 0 2 0 1 J ( ) 1 1 s s t s = = = = + 6．求下列函数的拉氏逆变换. （1） ( ) . 4 1 2 + = s F s （2） ( ) . 1 4 s F s = （3） ( ) ( ) . 1 1 4 + = s F s （4） ( ) . 3 1 + = s F s （5） ( ) . 9 2 3 2 + + = s s F s （6） ( ) ( )( ) . 1 3 3 + − + = s s s F s （7） ( ) . 6 1 2 + − + = s s s F s （8） ( ) . 4 13 2 5 2 + + + = s s s F s 解（1） f ( )t = & [ ] ( ) 2 1 1 = − F s & t s sin 2 2 1 4 2 2 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − （2） f ( )t = & 3! 1 1 4 1 =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ − ⎡ s & 3 3 1 1 6 3! 1 t s =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − （3）由& 3 4 1 6 1 1 t s =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ − ⎡ 及位移性质& [F(s a)] e f (t) at − = −1 得 f ( )t = & [ ( )] = − F s 1 & ( ) t t e s − − ⎥ = ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + 3 4 1 6 1 1 1 （4） f ( )t = & [ ( )] = − F s 1 & t e s 1 3 3 − 1 − =⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + （5） f ( )t = & [ ] ( ) 2 1 = − F s & +⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − 9 2 1 s s & t t s 2cos3 sin 3 9 3 2 1 = + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − - 9 -