3.定理1：设矩阵A=(a1,·,am), 则向量b是（列）向量组{a,·,am}的一个线性组合 ÷Ax=b有解 (第二基本方法) 台R(A)=R(A,b) (第一基本方法) 证 b是{a1,…,am}的线性组合 台x1a1十·十xmam=b有解 X1 台(a1,·,am) .. 有解 台Ax=b有解 台R(A)=R(A,b) 注：此即b可中向量组线件表西 南同济大学 5131
3. 定理 1: 设矩阵 A = (a1, · · · , am), 则向量 b 是 (列) 向量组 {a1, · · · , am} 的一个线性组合 ⇔ Ax = b 有解 (第二基本方法) ⇔ R(A) = R(A, b) (第一基本方法) 䇷: b 是 {a1, · · · , am} 的线性组合 ⇔ x1a1 + · · · + xmam = b 有解 ⇔ (a1, · · · , am) x1 . . . xm 有解 ⇔ Ax = b 有解 ⇔ R(A) = R(A, b) 注：此即 b 可由向量组线性表出. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 5 / 31
3.定理1：设矩阵A=(a1,·,am), 则向量b是（列）向量组{a,·,am}的一个线性组合 ÷Ax=b有解 (第二基本方法) 台R(A)=R(A,b) (第一基本方法) 证 b是{a1,…,am}的线性组合 台x1a1十·十xmam=b有解 X1 台(a1,·,am) 有解 台Ax=b有解 台R(A)=R(A,b) 注：此即b可由向量组线性表出 张鞘同济大学 5131
3. 定理 1: 设矩阵 A = (a1, · · · , am), 则向量 b 是 (列) 向量组 {a1, · · · , am} 的一个线性组合 ⇔ Ax = b 有解 (第二基本方法) ⇔ R(A) = R(A, b) (第一基本方法) 䇷: b 是 {a1, · · · , am} 的线性组合 ⇔ x1a1 + · · · + xmam = b 有解 ⇔ (a1, · · · , am) x1 . . . xm 有解 ⇔ Ax = b 有解 ⇔ R(A) = R(A, b) 注：此即 b 可由向量组线性表出. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 5 / 31
§1.3向量组的线性表出关系 1.定义3： ().组男可由组线性表出：记作男→： 2),组与组，以等价（即可互相线性表出）记作沙一以 2.例 1.子组一大组 (例如a2}一→{a1, 2.B的行一一B的行阳 两地百的行 传 张南同济大学 6131
§1.3 向量组的线性表出关系 1. 定义 3: (1). 组 B 可由组 A 线性表出: 记作 B → A ； (2). 组 B 与组 A 等价 (即可互相线性表出): 记作 B ↔ A . 2. 例 : (1). 子组 → 大组； (例如:{a1, a2} → {a1, a2, a3}) (2). (矩阵)AB 的行组 → B 的行组； (宏观地看 AB 的行.) 3. 传递性: (1). C → B, B → A ⇒ C → A . (2). C ↔ B, B ↔ A ⇒ C ↔ A . ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 6 / 31
§1.3向量组的线性表出关系 1.定义3： (1).组男可由组线性表出：记作男→： (2).组男与组4等价（即可互相线性表出）：记作男4 2.例 .子组一大组 (例如a.2}一{a1,gs月 2.(矩阵4B的行组一B的行组 (宏观地看B的行 传 张南同济大学 6131
§1.3 向量组的线性表出关系 1. 定义 3: (1). 组 B 可由组 A 线性表出: 记作 B → A ； (2). 组 B 与组 A 等价 (即可互相线性表出): 记作 B ↔ A . 2. 例 : (1). 子组 → 大组； (例如:{a1, a2} → {a1, a2, a3}) (2). (矩阵)AB 的行组 → B 的行组； (宏观地看 AB 的行.) 3. 传递性: (1). C → B, B → A ⇒ C → A . (2). C ↔ B, B ↔ A ⇒ C ↔ A . ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 6 / 31
§1.3向量组的线性表出关系 1.定义3： ().组男可由组线性表出：记作男→： (2).组男与组4等价（即可互相线性表出）：记作男4 2.例： (①).子组→大组： (例如：{a1,a2}→{a1,a2,a3}) 2.(矩阵4B的行组一B的行组 宏观地看B的行 3.传递 日.6一》.穷一→三名一→6 张南同济大学 6131
§1.3 向量组的线性表出关系 1. 定义 3: (1). 组 B 可由组 A 线性表出: 记作 B → A ； (2). 组 B 与组 A 等价 (即可互相线性表出): 记作 B ↔ A . 2. 例 : (1). 子组 → 大组； (例如:{a1, a2} → {a1, a2, a3}) (2). (矩阵)AB 的行组 → B 的行组； (宏观地看 AB 的行.) 3. 传递性: (1). C → B, B → A ⇒ C → A . (2). C ↔ B, B ↔ A ⇒ C ↔ A . ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 6 / 31