§1.2向量组的线性组合 1.定义2：向量组{a1,a2,·,am}的线性组合一a1,a2,·,am的一些数 乘之和 (1).一般形式：k1a1十k2a2十·十kmam (那些数乘的数，k2,·km称为此线性组合的系数) (2).系数全为0的线性组合称为是平凡线性组合” 2.例： ().组中任一向量是该组的线性组合 (2).零向量是任一（同型）向量组的线性组合 3.线性组合的线性组合仍是线性组合传递性 4,0是向量组{，他，：，m}的一个线性组合 一可由a,2,,,am}出发经若干次线性运算而得到 张鞘同济大学 4/31
§1.2 向量组的线性组合 1. 定义 2: 向量组 {a1, a2, · · · , am} 的线性组合 —a1, a2, · · · , am 的一些数 乘之和. (1). 一般形式:k1a1 + k2a2 + · · · + kmam (那些数乘的数 k1, k2, · · · km 称为此线性组合的系数.) (2). 系数全为 0 的线性组合称为是 “平凡线性组合” 2. 例 : (1). 组中任一向量是该组的线性组合. (2). 零向量是任一 (同型) 向量组的线性组合 . (3). 线性组合的线性组合仍是线性组合 (“传递性”). (4). α 是向量组 {a1, a2, · · · , am} 的一个线性组合 ⇔ 可由 {a1, a2, · · · , am} 出发经若干次线性运算而得到. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 4 / 31
§1.2向量组的线性组合 1.定义2：向量组{a1,a2,·,am}的线性组合一a1,a2,·,am的一些数 乘之和 ().一般形式：k1a1十k2a2十·十kmam (那些数乘的数，k2,·km称为此线性组合的系数) (2).系数全为0的线性组合称为是平凡线性组合” 2.例： (①).组中任一向量是该组的线性组合。 (2).零向量是任一（同型）向量组的线性组合 (3).线性组合的线性组合仍是线性组合(“传递性”) ,0是向量组{，2，。，m}的一个线性组合 一可由，2，·：am出发经若干次线性运算而得到 张鞘同济大学 4/31
§1.2 向量组的线性组合 1. 定义 2: 向量组 {a1, a2, · · · , am} 的线性组合 —a1, a2, · · · , am 的一些数 乘之和. (1). 一般形式:k1a1 + k2a2 + · · · + kmam (那些数乘的数 k1, k2, · · · km 称为此线性组合的系数.) (2). 系数全为 0 的线性组合称为是 “平凡线性组合” 2. 例 : (1). 组中任一向量是该组的线性组合. (2). 零向量是任一 (同型) 向量组的线性组合 . (3). 线性组合的线性组合仍是线性组合 (“传递性”). (4). α 是向量组 {a1, a2, · · · , am} 的一个线性组合 ⇔ 可由 {a1, a2, · · · , am} 出发经若干次线性运算而得到. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 4 / 31
§1.2向量组的线性组合 1.定义2：向量组{a1,a2,·,am}的线性组合一a1,a2,·,am的一些数 乘之和 ().一般形式：k1a1+k2a2+·+kmam (那些数乘的数k1,k2,·km称为此线性组合的系数) (2).系数全为0的线性组合称为是平凡线性组合” 2.例： (①).组中任一向量是该组的线性组合. (2).零向量是任一（同型）向量组的线性组合 (3).线性组合的线性组合仍是线性组合(“传递性") (4).a是向量组{a1a2,·,am}的一个线性组合 台可由{a1,a2,·,am}出发经若干次线性运算而得到. 张鞘同济大学 4/31
§1.2 向量组的线性组合 1. 定义 2: 向量组 {a1, a2, · · · , am} 的线性组合 —a1, a2, · · · , am 的一些数 乘之和. (1). 一般形式:k1a1 + k2a2 + · · · + kmam (那些数乘的数 k1, k2, · · · km 称为此线性组合的系数.) (2). 系数全为 0 的线性组合称为是 “平凡线性组合” 2. 例 : (1). 组中任一向量是该组的线性组合. (2). 零向量是任一 (同型) 向量组的线性组合 . (3). 线性组合的线性组合仍是线性组合 (“传递性”). (4). α 是向量组 {a1, a2, · · · , am} 的一个线性组合 ⇔ 可由 {a1, a2, · · · , am} 出发经若干次线性运算而得到. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 4 / 31
§1.2向量组的线性组合 1.定义2：向量组{a1,a2,·,am}的线性组合一a1,a2,·,am的一些数 乘之和 ().一般形式：k1a1+k2a2+·+kmam (那些数乘的数k1,k2,·km称为此线性组合的系数) (2).系数全为0的线性组合称为是平凡线性组合” 2.例： (①).组中任一向量是该组的线性组合. (2).零向量是任一（同型）向量组的线性组合 (3).线性组合的线性组合仍是线性组合(“传递性") (4).a是向量组{a1a2,·,am}的一个线性组合 台可由{a1,a2,·,am}出发经若干次线性运算而得到. 张鞘同济大学 4/31
§1.2 向量组的线性组合 1. 定义 2: 向量组 {a1, a2, · · · , am} 的线性组合 —a1, a2, · · · , am 的一些数 乘之和. (1). 一般形式:k1a1 + k2a2 + · · · + kmam (那些数乘的数 k1, k2, · · · km 称为此线性组合的系数.) (2). 系数全为 0 的线性组合称为是 “平凡线性组合” 2. 例 : (1). 组中任一向量是该组的线性组合. (2). 零向量是任一 (同型) 向量组的线性组合 . (3). 线性组合的线性组合仍是线性组合 (“传递性”). (4). α 是向量组 {a1, a2, · · · , am} 的一个线性组合 ⇔ 可由 {a1, a2, · · · , am} 出发经若干次线性运算而得到. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 4 / 31
3.定理1：设矩阵A=(a1,·,am) 则向量b是（列）向量组{a,·,am}的一个线性组合 ÷Ax=b有解 (第二基本方法) 台R(A)=R(A,b) (第一基本方法) 通 b是{，，am}的线性组省 =X11十··十x☑m一b有 =21,,4m 有解 一=b有醒 ÷R(4=R04b 注：此即b可中向量组线件表调 张南同济大学 性物 5131
3. 定理 1: 设矩阵 A = (a1, · · · , am), 则向量 b 是 (列) 向量组 {a1, · · · , am} 的一个线性组合 ⇔ Ax = b 有解 (第二基本方法) ⇔ R(A) = R(A, b) (第一基本方法) 䇷: b 是 {a1, · · · , am} 的线性组合 ⇔ x1a1 + · · · + xmam = b 有解 ⇔ (a1, · · · , am) x1 . . . xm 有解 ⇔ Ax = b 有解 ⇔ R(A) = R(A, b) 注：此即 b 可由向量组线性表出. ᕖ㦿 (ੂ⎄大ᆜ) 线性代数 5 / 31