模型2~ . Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关,即:r=r(N 从而有 dtr(N)N 对马尔萨斯模型引入一次项(竞争项),令r(N)=raN 此时得到微分方程: (r-aN)N或 dN (1-)N(*) dt K (**)被称为 Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律,是由荷兰数 学生物学家弗赫斯特( Verhulst)首先提出的。一次项系数是负的,因为 当种群数量很大时,会对自身增大产生抑制性,故一次项又被称为竞争 项。 (*米)可改写成: k(K-m)
模型2 Logistic模型 人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N) 从而有： ( ) dN r N N dt （*） 对马尔萨斯模型引入一次项（竞争项），令 r(N)=r-aN 此时得到微分方程： ( ) dN r aN N dt (1 ) dN N r N dt K 或 （**） （**）可改写成： ( ) dN k K N N dt （***） （**）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数 学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为 当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争 项
模型2~ . Logistic模型 dN∠Mk-N)N 该式还有另一解释,由于空间和资源都是有限的,不可 能供养无限增长的种群个体,当种群数量过多时,由于人均 资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因,出生率将 降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为 K(近似地将K看成常数),N表示当前的种群数量,K-N恰 为环境还能供养的种群数量,该式指出,种群增长率与两者 的乘积成正比,正好符合统计规律,得到了实验结果的支持, 这就是该式也被称为统计筹算律的原因 求解分离变量: dn= kkdt N K-N 两边积分并整理得: K N 1+Ce
模型2 Logistic模型 ( ) dN k K N N dt 该式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可 能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均 资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将 降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为 K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰 为环境还能供养的种群数量，该式指出，种群增长率与两者 的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持， 这就是该式也被称为统计筹算律的原因。 求解——分离变量： 1 1 dN kKdt N K N 两边积分并整理得： 1 kKt K N Ce
K 1+Ce - kKt 令N0)=N,求得: K-N 故满足初始条件N(0)=N0的解为:N()= 易见: 15 N(OF=No, IimN=K N=15Lgst曲线 N)的图形请看右图 05 N. ND=0.1 N(t)= N6+(K-N)en%a刻
1 kKt K N Ce 令N(0)=N0，求得： 0 0 K N C N 故满足初始条件N(0)=N0的解为： 0 0 0 ( ) ( ) kKt N K N t N K N e 易见： N(0)=N0 ，lim ( ) t N t K N(t)的图形请看右图 rt N K N e N K N t ( ) ( ) 0 0 0
模型的参数佔讣 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报, 必须先估计模型参数r或r,K 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例:美国人口数据(单位~百万) 17901800181018201830 1950196019701980 3.953729612.9 150.7179.3204.0226.5 7=0.2072.K=464 专家估计
模型的参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, K • 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万） 1790 1800 1810 1820 1830 …… 1950 1960 1970 1980 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 …… 150.7 179.3 204.0 226.5 r=0.2072, K=464 • 专家估计
模型检验(1) 用模型预报199年美国人口,与实际数据比较 x(1990=x(1980+△x=x(1980+x(19801-x(10980/xnl x(1990)=250.5实际为2514(百万) 模应用—人口预报 用美国1790-190年人口数据重新估计参数实际: 冷r=0.2083,N=457.6→ N(2000)275.02824 N(2010=29793104 Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的鲁量)
模 型 检 验(1) 用模型预报1990年美国人口，与实际数据比较 (1990) (1980) (1980) (1980)[1 (1980)/ ] m x x x x rx x x x(1990) 250.5 实际为251.4 (百万) 模 型 应 用——人 口 预 报 用美国1790~1990年人口数据重新估计参数 r=0.2083, N=457.6 N(2000)=275.0 N(2010)=297.9 Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量) 实际: 282.4 310.4