势能具有周期性TV(x)=V(x+a)=V(x) d' 与 的运算效果一样 d(x+ay dx2 6)=- 6v8 V+a)+Vx+a) 2m =(x+a) 哈密顿量也具有周期性或平移对称性
势能具有周期性 TV(x) =V(x + a) =V(x) ( ) 与 2 的运算效果一样 2 2 2 dx d d x a d + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) H(x a) x a V x a 2m x V x 2m H x 2 2 2 2 = + = − + + + = − + 哈密顿量也具有周期性或平移对称性
ruey）=alHr】 =HGF+R+R THr)=H代+R)=Hn,fG) TH =HT
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l l l l H r R f r R T H r f r T H r f r = + + = T Hf (r) Hf (r R ) HT f(r) l = + l = l Tl H = HTl
V(,H)有周期性，于是： TV(x)=V(x+a)=V(x),TH(x)=H(x+a)=H(x) 波函数不是周期函数，只满足： Tw(x)=v(x+a) ·现在将平移算符作用在薛定谔方程： H(x)w(x)=Ew(x) TH(x)w(x)=H(x+a)u(x+a)=H(x)w(x+a)=H(x)Tw(x) ·由此可知， T和H两个算符是对易的： w(x)是本征函数， E为本征值
• V(x),H(x)有周期性，于是： 波函数不是周期函数，只满足： • 现在将平移算符作用在薛定谔方程： • 由此可知， ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). ^ ^ TV x =V x + a =V x T H x = H x + a = H x ( ) ( ) ^ T x = x + a ( ) ( ) ( ) ^ H x x = E x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^ ^ ^ ^ ^ ^ T H x x = H x + a x + a = H x x + a = H x T x 和 两个算符是对易的． ^ ^ T H 为本征值． （ ）是本征函数， E x
TW(x)=(x+a)=w(x),2为本征值. A n Tw(x)=2”yw(x) ·晶体有N个原胞，线度为L=Na,N个原胞的一维 晶体就相当于首尾相连接的一个圆环. y (x+Na)=v(x) w (x+Na)=Aw(x) W=l,令=ea∴.ea=1 ∴.Nka=2l元，1=0，±l,t2 k=127,1=0,t1,2 Na ∴.wk(x+a)=ew(x)
• 晶体有N个原胞，线度为L=Na,N个原胞的一维 晶体就相当于首尾相连接的一个圆环． ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ^ ^ T x x T x x a x n n = = + = 为本征值． ( ) ( ) , 0, 1, 2 2 2 , 0, 1, 2 1, 1 ( ) ( ) x a e x l Na k l Nka l l e e x Na x x Na x k ika k N ika iNka N + = = = = = = = = + = + = 令 （ ） （ ）
y(x)=e满足上式， 波失k。=h2,函数w,=e也满足， 有 a T0g,(G)=eao=et加p+,=epk+s,() Px(x)应该是全体p+k,(x)线性迭加. w(x)=e∑4，er=e(x) ()=∑A,e,具有晶格周期性， cx+na）=∑4，et=∑4，er=(x)
有 波矢 函数 也满足． 满足上式， i k k x h k k ikx k h h e a k h x e ( ) , 2 ( ) + = + = = ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ^ u x na A e A e u x u x A e x e A e e u x x x T x e e e x h i k x h h i k x n a h h i k x h ikx h i k x h ikx k k k k k k ika k k i k k x a i k k a k k h h h h h h h h h h + = = = = = = = = = + + + + + + + + 具有晶格周期性， 应该是全体 线性迭加．