三种变换：√交换方程的次序，记作①一①/以非零常数k乘某个方程，记作①×k；V一个方程加上另一个方程的k倍，记作+k①结论：其逆变换是：1.由于对原线性方程组施行的变换是可逆变换，因此变换前后①-0-0的方程组同解①xkO-k2.在上述变换过程中，实际上只对方程组的系数和常数进行运①+k?O-k@算，未知数并未参与运算
三种变换： ✓交换方程的次序，记作 ； ✓以非零常数 k 乘某个方程，记作 ； ✓一个方程加上另一个方程的 k 倍，记作 . 其逆变换是： 结论： 1. 由于对原线性方程组施行的变 换是可逆变换，因此变换前后 的方程组同解. 2. 在上述变换过程中，实际上只 对方程组的系数和常数进行运 算，未知数并未参与运算． i j i ×k i ＋k j i j i ×k i +k j j i i ÷k i －k j
定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换(elementaryrowtransformations):v对调两行，记作r台r以非零常数k乘某一行的所有元素，记作r×kv某一行加上另一行的k倍，记作r+kr其逆变换是：初等行变换r;rjrr;初等变换r,xkr,-k;初等列变换r,+kr;r;-kr,把“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换
定义：下列三种变换称为矩阵的初等行变换(elementary row transformations) ： ✓对调两行，记作 r r i j ； ✓以非零常数 k 乘某一行的所有元素，记作 r k i ； ✓某一行加上另一行的 k 倍，记作 . i j r kr + 其逆变换是： i j r r i r k i j r kr + ; i j r r ; i r k . i j r kr − 把“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义． 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换 ． 初等行变换 初等列变换 初等变换
a112a13a14a31 a32 a33 a34ri<>r32a21a22a23a24ka21ka22 ka23 ka24K2α11 α12 α13 α14_a31a32a3334a31 + 2a11a32 +2a12 a33 + 2a13 a34 +2a14ri+2r3ka21ka23k a24ka22aula12a13a14
31 32 33 34 21 22 23 24 11 12 13 14 a a a a a a a a a a a a 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 a a a a a a a a a a a a + + + + 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 2 1 1 3 2 2 1 2 3 3 2 1 3 3 4 2 1 4 a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k 1 3 ~ r r 2 kr k k k k 1 2 3 ~ r + r
x.l+ x---2x+X=C+x4x-62+2x-2x=3x+6-9x+7x=91B结论：增广矩对原线性方程组施行的变换可以阵转化为对增广矩阵的变换
2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 B − −− = − − − 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 B − − − = − − − 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2, 2 4, 4 6 2 2 4, 3 6 9 7 9. x x x x x x x x x x x x x x x x − − + = + − + = − + − = + − + = 增广矩阵 结论： 对原线性方程组施行的变换可以 转化为对增广矩阵的变换
(212-1-12x - X2 - X+ X =2, ①11-214X+ X-2x+ X =4, ?=B42-6-24x, -6x2 +2x,-2x4 =4, ?4396-973x +6x, -9x3 +7x4 =9. rhr一??+25+211-2X+ X-2x+ X=4, ①142-1-112x- X2- X+ X=2, ?2B2-3-122x-3x2 + X- X4 =2, ?7936-93x +6x2-9x +7x =9.④
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2, 2 4, 4 6 2 2 4, 3 6 9 7 9. x x x x x x x x x x x x x x x x − − + = + − + = − + − = + − + = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 4, 2 2, 2 3 2, 3 6 9 7 9. x x x x x x x x x x x x x x x x + − + = − − + = − + − = + − + = 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 B − − − = − − − 1 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9 B − − − = − − − ① ② ③÷2 1 2 r r 3r 2 ①②③④①②③④