例5求lm tanx-sin x x→0 sin'2x 错解当x→0时,tanx~x,sinx~x. 原式lim x2 解当x→Q时,sin2x~2x tan x-sinx=tan x(1-cos r).1 3 原式=lim2 x0(2x)16
例５ . sin 2 tan sin lim 3 0 x x x x − 求 → 解 当x → 0时, tan x ~ x, sin x ~ x. 3 0 (2 ) lim x x x x − = 原式 → = 0. 解 当x → 0时, tan x − sin x = tan x(1− cos x) , 2 1 ~ 3 x sin2x ~ 2x, 3 3 0 (2 ) 2 1 lim x x x→ 原式 = . 16 1 = 错
例6求lm tan 5x-cosx +1 x→0 sInr 解∵tan5x=5x+0(x,sin3x=3x+o(x) l-c0sx=x2+0(x2). 2 5x+o(x)+x2+0(x2) 原式=lim x→0 3x+o(r) 5+ o(x).1.,0(x2) T-x+ x 2 in 0(x 53 3+
例 6 . sin 3 tan 5 cos 1 lim0 x x x x − + → 求 解 tan 5 x = 5 x + o(x), sin 3x = 3x + o(x), ( ). 21 1 cos 2 2 − x = x + o x3 ( ) ( ) 21 5 ( ) lim 2 2 0 x o x x o x x o x x + + + + = → 原式 x o x x o x x x o x x ( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 5 lim 2 0 + + + + = → . 35 =
小结 1、无穷小的比较 反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度 快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较 高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶 2、等价无穷小的代换: 求极限的又一种方法,注意适用条件
三、小结 1、无穷小的比较 反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 2、等价无穷小的代换: 求极限的又一种方法, 注意适用条件. 高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶
思考题 任何两个无穷小都可以比较吗?
思考题 任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答 不能.例当x→+时 SInx f∫(x) 都是无穷小量 但lim g(r) = lim sinx不存在且不为无穷大 x→+0 ∫(x)x→+ 故当x→}+时∫(x)和g(x)不能比较
思考题解答 不能． 例当 x → + 时 , 1 ( ) x f x = x x g x sin ( ) = 都是无穷小量 但 = →+ ( ) ( ) lim f x g x x x x lim sin →+ 不存在且不为无穷大 故当 x → + 时 f (x)和g(x)不能比较