意义:用等价无穷小可给出函数的近似表达 式 例如,当x→0时,sinx~x,1- Cost=x sin x=x+o(x) y=:r 1-c0sx=x2+0(x2) y=1+cosx 常用等价无穷小当x→Q时, x-tanx arcsin x arctan x In(1+x) xce cosxcx3,(1+x)-1-ax(a+0)
意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达 式． 例如, sin x = x + o(x), ( ). 2 1 1 cos 2 2 − x = x + o x 当x → 0时, y = 1 − cos x 2 2 1 y = x 常用等价无穷小: 当x → 0时, , (1 ) 1 ~ ( 0) 2 1 ~ 1, 1 cos ~ ~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan ~ ln(1 ) 2 − − + − + x e x x x ax a x x x x x x x a . 2 1 sin ~ , 1 cos ~ 2 x x − x x
例2求加me-1~x x->0 解令ex-1=L,即x=lm(1+u) 则当x→0时,有u→0, e ∴Iim =lim M=m x→>0 n→In(1+l) n(1+ ne limIn(1+u)" →>0 即,当x→0时,x~ln(1+x),x~ex-1
例２解 ln(1 ) lim 1 lim0 0 u u x e u x x + = − → → . 1 lim0 x e x x − → 求 e 1 u, x 令 − = 即 x = ln( 1 + u), 则当 x → 0时,有 u → 0, u u u 1 0 ln( 1 ) 1 lim + = → u u u 1 0 limln( 1 ) 1 + = → ln e 1 = = 1 . → 0 ~ ln(1 + ), ~ − 1. x 即，当 x 时，x x x e
等价无穷小代换 定理2(等价无穷小代换定理) 设a~aB~且lm存在则im5=hm2 c c 证imB=lm.B.) CC ββ c c c c
二、等价无穷小代换 定理２(等价无穷小代换定理) ~ , ~ lim , lim lim . = 设 且 存 在 则 证 lim lim( ) = = lim lim lim lim . =
例3求lm tan 2x x-01-cosx 解当x→0时,1-c0sx~x2,tan2x~2x. (2x) 原式=出1 8 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换,而不会改变原式的极限
例３ . 1 cos tan 2 lim 2 0 x x x − 求 → 解 , tan2 ~ 2 . 2 1 0 , 1 cos ~ 2 当x → 时 − x x x x 2 2 0 2 1 (2 ) lim x x x→ 原式 = = 8. 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限．
例4求lm (x+i)sinx x→>0 arcsin x 解当x→Q时,sinx~x, arcsin x~x 原式=lim (x+1) =lim(x+1)=1 x→0 0 注意不能滥用等价无穷小代换 切记,只可对函数的因子作等价无穷小代换, 对于代数和中各无穷小不能分别代换
不能滥用等价无穷小代换. 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 对于代数和中各无穷小不能分别代换. 注意 例４ . arcsin ( 1)sin lim 0 x x x x + → 求 解 当x → 0时, sin x ~ x, arcsin x ~ x. x x x x ( 1) lim 0 + = → 原式 lim( 1) = 1. 0 = + → x x