3.损失函数 统计决策的一个基本观点和假定是,每采取一个决策,必 然有一定的后果(经济的或其他的),决策不同的,后果 各异。对于每个具体的统计决策问题,一般有多种优劣不 同的决策可采用。例如,要估计正态分布N(20.2)中 的参数u,假设u的真值为3,那么采用3.5这个决策显 然比10这个决策好的多。如果要作的区间估计,则显 然[2.4这个决策比[-5,10这个决策好。 湘潭大学数学与计算科学院一页一页]6
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 3．损失函数 统计决策的一个基本观点和假定是，每采取一个决策，必 然有一定的后果（经济的或其他的），决策不同的，后果 各异。对于每个具体的统计决策问题，一般有多种优劣不 同的决策可采用。 例如，要估计正态分布 2 N( ,0.2 ) 中 的参数 ，假设 的真值为 3，那么采用 3.5 这个决策显 然比 10 这个决策好的多。如果要作 的区间估计，则显 然[2.4]这个决策比[－5，10]这个决策好
统计决策理论的一个基本思想是把上面所谈的优劣 性,以数量的形式表现出来,其方法是引入一个依赖于参 数值O∈⊙和决策d!∈E”的二元实值非负函数 L(,d)≥0,称之为损失函数,它表示当参数真值为O而 采取决策d时所造成的损失,决策越正确,损失就越小。 由于在统计问题中人们总是利用样本对总体进行推断,所 以误差是不可避免的,因而总会带来损失,这就是损失函 数定义为非负函数的原因。 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 统计决策理论的一个基本思想是把上面所谈的优劣 性，以数量的形式表现出来，其方法是引入一个依赖于参 数 值 和 决 策 * d E 的 二 元 实 值 非 负 函 数 L d ( , ) 0 ，称之为损失函数，它表示当参数真值为 而 采取决策d 时所造成的损失，决策越正确，损失就越小。 由于在统计问题中人们总是利用样本对总体进行推断，所 以误差是不可避免的，因而总会带来损失，这就是损失函 数定义为非负函数的原因
例4.3设总体X从正态分布N(0,1),O为未知参数,参数 空间⊙=(-∞,+∞),决策空间自然地取为E=(-,+∞), 个可供考虑的损失函数是 L(O,d)=(O-)2 当d=O,即估计正确时损失为0,估讪与实际值的距离 d-愈大,损失也愈大。 如果要求未知参数的区间估计,损失函数可取为 L(,d)=(d2-d1),b∈⊙,d=[d1,d2l∈ 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8 例 4.3 设总体 X 从正态分布N( ,1) ， 为未知参数，参数 空间 = − + ( , ) ，决策空间自然地取为 * E = − + ( , )， 一个可供考虑的损失函数是 2 L d d ( , ) ( ) = − 当d = ，即估计正确时损失为 0，估计d 与实际值 的距离 d − 愈大，损失也愈大。 如果要求未知参数 的区间估计，损失函数可取为 2 1 1 2 L d d d d d d ( , ) ( ), , [ , ] = − =