例2.已知xn= (-1)” 证明limx=0. n+1)2 1n→00 证：xn-0= (-1)” (n+1)2 6∈(0,1)，欲使xn-0<6,只要 11 n+1 <,即n> 取N=[日-，则当n>N时，就有x,-0<&, 故 lim=lim n-∞(n+1)2 0 也可由 xn-0=a 说明：N与ε有关，但不唯一 取N=[-1] 不一定取最小的N. OOo⊙@&
例2. 已知 证明 证: xn − 0 = 2 ( 1) 1 + = n 1 1 + n (0,1), 欲使 只要 , 1 1 n + 即 n 取 1], 1 = [ − N 则当 n N 时, 就有 − 0 , n x 故 0 ( 1) ( 1) lim lim 2 = + − = → → n x n n n n 故也可取 [ ] 1 N = 也可由 2 ( 1) 1 0 + − = n n x 1. 1 − N 与 有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 说明: 取 1 1 = − N 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例3.设g<1,证明等比数列1,9，g2,.,g-1,. 的极限为0. 证：xn-0=g”1-0=gm c∈(0,1)，欲使xn-0<6,只要g"-1<6, 即 Ing (n-l)lng<ln6,亦即n>1+ In g 因此取则当w时南 |g-1-0<e 故 lim g"-1=0 1-→00 Solo☒
例3. 设 q 1, 证明等比数列 证: − 0 n x 欲使 只要 即 亦即 因此 , 取 + = q N ln ln 1 , 则当 n > N 时, 就有 − − 0 n 1 q 故 lim 0 1 = − → n n q . ln ln 1 q n + 的极限为 0 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、收敛数列的性质 b-a b-a 2 1.收敛数列的极限唯一 9+6 b 证：用反证法.假设limx,=a及lim=b,且a<b. n->o 取6=b,因1imxn=a,故存在N1,使当n>N时， n->o0 x-aK2,从而，<生 同理，因limx=b,故存在N2,使当n>N2时，有 n>0 x,-bK学，从而xn>学 取N=max{W1,N2},则当n>W时，xn满足的不等式 矛盾.故假设不真！因此收敛数列的极限必唯一. Ooo⊙o8
− 2 3a b 2 2 b a n b a x a − − − − 二、收敛数列的性质 证: 用反证法. 及 且 a b. 取 因 lim x a, n n = → 故存在 N1 , 从而 2 a b n x + 同理, 因 lim x b, n n = → 故存在 N2 , 使当 n > N2 时, 有 2 a b n x + 1. 收敛数列的极限唯一. 使当 n > N1 时, 假设 2 2 b a n b a x b − − − − n a b x + 2 2 3b−a 从而 2 a b n x + 矛盾. 因此收敛数列的极限必唯一. 取N = maxN1 , N2 , 则当 n > N 时, 故假设不真 ! n x 满足的不等式 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例4.证明数列xn=(-1)”+1(n=1,2,.)是发散的 证：用反证法 假设数列{xn}收敛，则有唯一极限a存在 取c=),则存在N,使当n>N时，有 a-n<a+号 a-2 a+号 但因X,交替取值1与-1，而此二数不可能同时落在 长度为1的开区间(a-),a+号)内，因此该数列发散
例4. 证明数列 是发散的. 证: 用反证法. 假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 . 取 , 2 1 = 则存在 N , 2 1 2 1 a − xn a + 但因 n x 交替取值 1 与－1 , ( , ) 2 1 2 1 a − a + 内, 而此二数不可能同时落在 长度为 1 的开区间 使当 n > N 时 , 有 因此该数列发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束