第一节线性系统的稳定性 例3-4系统的特征方程为s+2s3+s2+2s+1=0 试判断该系统的稳定性。 解:列出劳斯 表 现在考察第一列中各项 数值。当ε趋近于零时 2-2/e的值是一很大的 负值,因此可以认为第 s2E(≈0)1 列中的各项数值的符 号改变了两次。按劳斯 2-0 判据,该系统有两个极 点具有正实部,系统是 不稳定的
第一节 线性系统的稳定性 线性系统的稳定性 例3-4 系统的特征方程为 试判断该系统的稳定性。 2 2 1 0 4 3 2 s + s + s + s + = 解：列出劳斯 表： 1 1 1 2 2 0 ε（≈0）1 2- 0 s4 s3 s2 s1 s0 1 现在考察第一列中各项 数值。当ε趋近于零时 ，2-2/ε的值是一很大的 负值，因此可以认为第 一列中的各项数值的符 号改变了两次。按劳斯 判据，该系统有两个极 点具有正实部，系统是 不稳定的
第一节线性系统的稳定性 (3)某行所有各项系数均为零的情况 如果劳斯表中某一行的各项均为零,或只有等于零的 项,这表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实 极点和(或)一些共轭虚数极点。为了写出下面各行, 将不为零的最后一行的各项组成一个方程,这个方程叫 作辅助方程,式中s均为偶次。由该方程对s求导数,用 求导得到的各项系数来代替为零的各项,然后继续按照 劳斯表的列写方法,写出以下的各行。至于这些根,可 以通过解辅助方程得到。但是当一行中的第一列的系数 为零,而且没有其它项时,可以像情况(2)所述那 样,用ε代替为零的一项,然后按通常方法计算阵列中 其余各项
第一节 线性系统的稳定性 线性系统的稳定性 (3) 某行所有各项系数均为零的情况 如果劳斯表中某一行的各项均为零，或只有等于零的一 项，这表示在s平面内存在一些大小相等符号相反的实 极点和（或）一些共轭虚数极点。为了写出下面各行， 将不为零的最后一行的各项组成一个方程，这个方程叫 作辅助方程，式中s均为偶次。由该方程对s求导数，用 求导得到的各项系数来代替为零的各项，然后继续按照 劳斯表的列写方法，写出以下的各行。至于这些根，可 以通过解辅助方程得到。但是当一行中的第一列的系数 为零，而且没有其它项时，可以像情况（2）所述那 样，用ε代替为零的一项，然后按通常方法计算阵列中 其余各项
第一节线性系统的稳定性 例3-5系统的特征方程为s+2s3+8s+12s+20s2+16s+16=0 试判断该系统的稳定性。 解:劳斯表中的s6~s3各项为: 182016 212160 s4168(各元素乘以1/2) 000 由上表看出,s3行的各项全为零
第一节 线性系统的稳定性 线性系统的稳定性 例3-5 系统的特征方程为 试判断该系统的稳定性。 2 8 12 20 16 16 0 6 5 4 3 2 s + s + s + s + s + s + = 解：劳斯表中的 s s 6 3 ~ 各项为： s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 0 s4 168 （各元素乘以1/2） s3 000 由上表看出，s3行的各项全为零
第一节线性系统的稳定性 为了求出s3~各项,将s4行的各项组成辅助方程: A(s)=s+6s2+8 dA(s 将辅助方程A③S)对s求导数,得 s+12s ·用上式中的各项系数作为s3行的各项系数,得劳斯表为: s182016·从左表的第一列可以看出,各项符 s5212160号没有改变,因此可以确定在右半平 面没有极点。另外,由于s3行的各项皆 为零,这表示有共轭虚数极点。这些 412 极点可由辅助方程求出 38 ●辅助方程是:S+6s2+8=0 4/3 求得大小相等符号相反的虚数极点 so 8 为 S=± ±j2
第一节 线性系统的稳定性 线性系统的稳定性 • 为了求出s3~ s0各项，将s4行的各项组成辅助方程： ( ) 6 8 4 2 A s = s + s + • 将辅助方程A(s)对s求导数，得 s s ds dA s 4 12 ( ) 3 = + s6 1 8 20 16 s5 2 12 16 0 s4 168 s3 4 12 s2 3 8 s1 4/3 s0 8 • 用上式中的各项系数作为s3行的各项系数，得劳斯表为： • 从左表的第一列可以看出，各项符 号没有改变，因此可以确定在右半平 面没有极点。另外，由于s3行的各项皆 为零，这表示有共轭虚数极点。这些 极点可由辅助方程求出。 • 辅助方程是： 6 8 0 4 2 s + s + = 求得大小相等符号相反的虚数极点 为： s1, 2 = ± j 2 s3, 4 = ± j2
第一节线性系统的稳定性 3、赫尔维茨判据( Hurwitz) 分析6阶以下系统的稳定性时,还可以应用赫尔维茨判据。 将系统的特征方程写成如下标准形式: as"+as"+∴+aS+a=0 现以它的各项系数写出如下之行列式 0 0 0 ·赫尔维茨判据描述如下:在an>0的 0 情况下,系统稳定的充分必要条件是 上述各行列式的各阶主子式均大于零 ,即对稳定系统来说要求 0 △,=a.a,a|>0 >0 aa a 0 A>0
第一节 线性系统的稳定性 线性系统的稳定性 3、赫尔维茨判据（Hurwitz） • 分析6阶以下系统的稳定性时，还可以应用赫尔维茨判据。 • 将系统的特征方程写成如下标准形式： 0 1 1 0 + 1 + + − + = − n n n n a s a s L a s a n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 8 7 6 5 7 6 5 4 3 5 4 3 2 1 3 2 1 0 1 0 M M M M M O K K K K K K K K K M M K K K K K K K K M M M M K K K K K K M M M M M M K K K K M M M M M M M M K K M M M M M M M M M M K ∆ = • 现以它的各项系数写出如下之行列式： • 赫尔维茨判据描述如下：在a0>0的 情况下，系统稳定的充分必要条件是 上述各行列式的各阶主子式均大于零 ，即对稳定系统来说要求： 0 ∆1 = a1 > 0 3 2 1 0 ∆ 2 = > a a a a 0 0 5 4 3 3 2 1 1 0 ∆ 3 = > a a a a a a a a ∆ > 0 …… n