第一节线性系统的稳定性 例3-7设反馈控制系统如图3—1所示,求满足稳定要求时雁临界值 R(S k C(s) s(S+1)(S+5) 解:·系统闭环传递函数是C(s4+)8+5)+k K R(S) 其特征方程为D(s)=s(s+1)(s5)+=0或s3+6s2+5s+K=0 ·列出劳斯表 ·按劳斯判据,要使系统稳定,其第 列数值应为正数,即 K>0,30-K>0 K 则有 30-K 0<K<30 6 从而得出满足稳定的临界值K=30。 K
第一节 线性系统的稳定性 线性系统的稳定性 例3-7 设反馈控制系统如图3—1所示，求满足稳定要求时K的临界值。 + - R(s) C(s) s(s +1)(s + 5) k 解： • 系统闭环传递函数是 s s s K K R s C s + + + = ( ) ( 1)( 5) ( ) • 其特征方程为 D(s)=s(s+1)(s+5)+K=0 或 6 5 0 3 2 s + s + s + K = s3 1 5 s2 6 K s0 K s1 6 30 − K • 列出劳斯表 • 按劳斯判据，要使系统稳定，其第 一列数值应为正数，即 K>0，30-K>0 则有 0<K<30 从而得出满足稳定的临界值Kc=30
第一节线性系统的稳定性 例3-8已知系统闭环传递函数为C(s) K R(s)(T+1)(TS+1)(7+1)+K 求临界放大系数K及其与参量、Z2及7的关系。 解:·系统特征方程为: D(S)=7172T3+(7172+7173+7273)2+(71+72+73)s+1+K=0 ·根据劳斯判据,稳定的充分必要条件是特征方程的各项系数 均大于零,并且a4a,-a1a1>0。现在系统的时间常数及放大系数均 为正,所以满足各项系数均大于零的条件。将各项系数代入aa2 0中,得: 1+72+T3)(7172+T1T3+727)-77273(+)>0或者 1+K<(T1+72+73)(1/71+2+13) 从而得临界放大系数 Kc=(T1+72+73)(71+1/2+/3)-1
第一节 线性系统的稳定性 线性系统的稳定性 例3-8 已知系统闭环传递函数为 求临界放大系数Kc及其与参量T1、T2及T3的关系。 Ts T s T s K K R s C s + + + + = ( ) ( 1)( 1)( 1) ( ) 1 2 3 解： • 系统特征方程为： D(s)=T1T2T3s3+(T1T2+T1T3+T2T3)s2+(T1+T2+T3)s+1+K=0 • 根据劳斯判据，稳定的充分必要条件是特征方程的各项系数 均大于零，并且a1a2-a0a3>0。现在系统的时间常数及放大系数均 为正，所以满足各项系数均大于零的条件。将各项系数代入a1a2- a0a3>0中，得： (T1+T2+T3)(T1T2+T1T3+T2T3)-T1T2T3(1+K)>0 或者 1+K<(T1+T2+T3) (1/ T1+1/T2+1/T3) 从而得临界放大系数 Kc=(T1+T2+T3) (1/ T1+1/T2+1/T3)-1
第一节线性系统的稳定性 ·由上式看出,T1、T2、T3中只要有一个足够小,那么K就可以增 大 将上式变换成:K=2+2+2+23+ +Ii 717172727373 求出K对T1、T2及T3的偏导并令其为零。 aK 又因为以上三式的形式是一样的,所以能 0T1T273T2T 够看出,只有=2=7=7时,K才有极 OK 7=0值 OK 由于,0K2 >0故知极值为极小而 aT OT TT 0非极大 有K-=8
第一节 线性系统的稳定性 线性系统的稳定性 • 由上式看出，T1、T2、T3中只要有一个足够小，那么Kc就可以增 大。 • 将上式变换成 ： 2 1 3 3 1 2 1 1 2 2 3 3 2 c T T T T T T K T T TTT T = + + +++ + • 求出Kc对T1、T2及T3的偏导并令其为零 。 0 1 1 2 1 3 2 1 2 1 2 3 = + − − = ∂ ∂ T T T T T T T K c 0 1 1 2 2 3 2 2 1 2 1 3 = + − − = ∂ ∂ T T T T T T T K c 0 1 1 2 3 1 2 3 2 3 2 1 = + − − = ∂ ∂ T T T T T T T K c • 又因为以上三式的形式是一样的，所以能 够看出，只有 时，Kc才有极 值。 T1=T2=T3=T • 由于， 故知极值为极小而 非极大。 2 2 2 2 0 Kc T T ∂ = > ∂ 有 Kcmin=8
例3-9三阶系统特征方程为: D 2 (s)=a02+a1s2+a28+a3= 0 试判断系统稳定性。 解: a2a1|=a3(a1a2-a0a3)>0 00 a1a1-aa2>0. 1=a1>0 系统稳定的充分必要条件是: a>0,a1>0.a2>0,a43>0,a1a2 0
例3-9 三阶系统特征方程为： 试判断系统稳定性。 解： ( ) 2 3 0 2 1 3 D s = a0s + a s + a s + a = 0 0, ( ) 0, 0 0 0 0 1 1 1 2 0 3 3 2 1 0 2 3 1 2 0 3 3 3 2 1 1 3 ∆ = > ∆ = = − > ∆ = = − > a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 系统稳定的充分必要条件是： 0 1 2 3 1 2 0 3 a a > > 0, 0,a >0,a >0,a a − > a a 0