第一节线性系统的稳定性 2、劳斯判据 将系统的特征方程写成如下标准形式: as"+as"+…+as+a=0 并将各系数组成如下排列的劳斯表: 表中的有关系数 为 b1 by b aa -ad ba-ab b aa -aa ba-ab b aa-ad ba -ab f1
第一节 线性系统的稳定性 线性系统的稳定性 2、劳斯判据 • 将系统的特征方程写成如下标准形式： 1 0 1 0 + 1 + + − + = − n n n n a s a s L a s a • 并将各系数组成如下排列的劳斯表： sn a0 a2 a4 sn-1 a1 a3 a5 sn-2 b1 b2 b3 sn-3 c1 c2 c3 ┇ ┇ ┇ ┇ s2 e1 e2 s1 f1 s0 g1 … … … … • 表中的有关系数 为： 1 1 2 0 3 1 a a a a a b − = 1 1 4 0 5 2 a a a a a b − = 1 1 6 0 7 3 a a a a a b − = … 1 1 3 1 2 1 b ba a b c − = 1 1 5 1 3 2 b ba a b c − = 1 1 7 1 4 3 b ba a b c − = …
第一节线性系统的稳定性 列出了劳斯表以后,可能出现以下几种情 况: (1)第一列所有系数均不为零的情况。 这时,劳斯判据指出,系统极点实部为正实数根 的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次 数。系统极点全部在复平面的左半平面的充分必 要条件是方程的各项系数全部为正值,并且劳斯 表的第一列都具有正号
第一节 线性系统的稳定性 线性系统的稳定性 • 列出了劳斯表以后，可能出现以下几种情 况： (1) 第一列所有系数均不为零的情况。 这时，劳斯判据指出，系统极点实部为正实数根 的数目等于劳斯表中第一列的系数符号改变的次 数。系统极点全部在复平面的左半平面的充分必 要条件是方程的各项系数全部为正值，并且劳斯 表的第一列都具有正号
第一节线性系统的稳定性 例3-1三阶系统的特征方程为 D()=an3+a1S2+a2S+a3=0 试判断该系统的稳定性。 解:列出劳斯表: and 系统稳定的充分必要条件是: a>0,a1>0,a2>0,a3>0,a1a2-aa3>0
第一节 线性系统的稳定性 线性系统的稳定性 例3-1 三阶系统的特征方程为 3 2 0 1 2 3 D s( ) = a s + + a s a s + a = 0 试判断该系统的稳定性。 解：列出劳斯表： 0 a 2 a 1 a 3 a 1 2 0 3 1 a a a a a − 3 a 3 s 2 s 0 s 1 s 系统稳定的充分必要条件是： 0 1 2 3 1 2 0 3 a a > > 0, 0, a > 0, a > 0, a a − a a > 0
第一节线性系统的稳定性 例3-3系统的特征方程为D(s)=s+2s+s+3s2+4+5=0 试判断该系统的稳定性。 解:列出劳斯表: 由左表可以看出, s235 第一列各数值的符 s3-130(各元素乘以2) 号改变了两次,由 +2变成-1,又由-1 950 改变成+9,因此该 系统有两个正实部 (各元素乘以9)的极点,系统是不 稳定的
第一节 线性系统的稳定性 线性系统的稳定性 例3-3 系统的特征方程为 试判断该系统的稳定性。 ( ) 2 3 4 5 0 5 4 3 2 D s = s + s + s + s + s + = 由左表可以看出， 第一列各数值的符 号改变了两次，由 +2变成-1，又由-1 改变成+9，因此该 系统有两个正实部 的极点，系统是不 稳定的。 s 5 114 s 4 235 s 3 -1 3 0（各元素乘以 2 ） s 2 950 s1 32 （各元素乘以 9 ） s 0 5 解：列出劳斯表：
第一节线性系统的稳定性 (2)某行第一列的系数等于零,而其余项中某些项不 等于零的情况。 在计算劳斯表中各元素的数值时,如果某行的第一列 的数值等于零,而其余的项中某些项不等于零,那么 可以用一有限小的数值ε来代替为零的那一项,然后 按照通常方法计算阵列中其余各项。如果零(ε)上 面的系数符号与零(ε)下面的系数符号相反,表明 这里有一个符号变化
第一节 线性系统的稳定性 线性系统的稳定性 （2）某行第一列的系数等于零，而其余项中某些项不 等于零的情况。 在计算劳斯表中各元素的数值时，如果某行的第一列 的数值等于零，而其余的项中某些项不等于零，那么 可以用一有限小的数值ε来代替为零的那一项，然后 按照通常方法计算阵列中其余各项。如果零（ε）上 面的系数符号与零（ε）下面的系数符号相反，表明 这里有一个符号变化