第四章根轨迹法 1948年,W.R. Evans根据反馈控制系统开环传递 函数与其闭环特征方程式之间的内在联系,提出了 种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法 根轨迹法。 当系统特征方程式中的某一参数(例如开环增 益K、时间常数T)连续由零变化到无穷大时,特征 方程式的根连续变化而在s平面上形成的运动轨迹, 即为闭环系统特征根的根轨迹 根轨迹法简单、实用,是经典控制理论的基本 分析方法之
第四章 根轨迹法 1948年，W.R.Evans根据反馈控制系统开环传递 函数与其闭环特征方程式之间的内在联系，提出了 一种非常实用的求取闭环特征方程式根的图解法－ 根轨迹法。 当系统特征方程式中的某一参数（例如开环增 益 、时间常数 ）连续由零变化到无穷大时，特征 方程式的根连续变化而在 平面上形成的运动轨迹， 即为闭环系统特征根的根轨迹。 s K T 根轨迹法简单、实用，是经典控制理论的基本 分析方法之一
第一节根轨迹图 系统开环传递函数为 R(s) C(s) K s(+p) G(S) s(s+p) 对应的闭环传递函数为 K R(s 5+ps+K 系统特征方程为D(s)=s2+ps+K=0 系统特征根为52=-±12)2-k
第一节 根轨迹图 系统开环传递函数为 ( ) ( ) s s p K G s + = 对应的闭环传递函数为 s ps K K R s C s + + = 2 ( ) ( ) 系统特征方程为 ( ) 0 2 D s = s + ps + K = K p p s = − ± −2 1,2 ) 2( 系统特征根为 2
根轨迹图 可见,当0≤K<p214时,S2为两相异的实根; 当K=p2/4时,S2为两相等实根;当p2/4<K≤时,S2 为一对共轭复根,实郡为j0→j燼邮 遨味着这些复根都集中在根 5<0.707 平面上离虚轴-p/2的垂直 5=0707 线上。 实际中,最常用的可变=422 参数是系统的开环增益K 以K为可变参数而得到的根 轨迹称为常规根轨迹
根轨迹图 可见，当 时， 为两相异的实根； 当 时， 为两相等实根；当 时， 为一对共轭复根，实部为 ， 虚 部 为 ， 0 / 4 2 ≤ K < p 1,2 s / 4 2 K = p 1,2 s p / 4 < K ≤ ∞ 2 1,2 s − p / 2 j0 → j∞,− j∞ 意味着这些复根都集中在根 平面上离虚轴 的垂直 线上。 − p / 2 实际中，最常用的可变 参数是系统的开环增益 ， 以 为可变参数而得到的根 轨迹称为常规根轨迹。 K K
第二节绘制根轨迹的数学依据 开环传递函数的两 R(s E(s 种表达式 kI(x,+1) B(s) H(s G(SH(S) =1 I(r,+1) K(+=) i=1 KL(s K∏ G(SH(S) (S+p;) ∏
第二节 绘制根轨迹的数学依据 开环传递函数的两 种表达式 ∏ ∏ = = + + = n j j m i i T s k s G s H s 1 1 ( 1) ( 1) ( ) ( ) τ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 J s KL s s p K s z G s H s n j j m i i = + + = ∏ ∏ = = ∏ ∏ = = = n j j m i i p K z k 1 1 (n ≥ m)
闭环特征方程的几种表达形式 闭环传递函数有以下两种表示形式: (s)b。S"+bs"+…+bn3S+bn R(s S"+a,s"++as+a C(s) G(s) R(s 1+G(S)H(S) 相应的闭环系统特征方程也有以下几种常用的 表达形式,可根据实际需要选择合适的表达式。 (1)s"+a,s/-+.+as+a=0
闭环特征方程的几种表达形式 闭环传递函数有以下两种表示形式： n n n n m m m m s a s a s a b s b s b s b R s C s + + + + + + + + = − − − − 1 1 1 1 1 0 1 ( ) ( ) L L 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s R s C s + = 相应的闭环系统特征方程也有以下几种常用的 表达形式，可根据实际需要选择合适的表达式。 0 1 1 + 1 + + − + = − n n n n （1） s a s L a s a