例4.设向量a=(a1a2…,an),B=(b,b,…,bn)都是 非零向量,且满足条件aB=0,记m阶矩阵A=aB。 试求:(1)A2;(2矩阵A的特征值和特征向量 解:(1)由A=aB和aB=0,有Ba=0,且 A=(aB)(ab)=a(B a)B=0 即A2为m阶零矩阵 (2)设λ为A的任一特征值,A的属于特征值a的特征向量 为a,即A2a=2a 由于A2=0,有几2a=0,且a≠0,故必有2=0,即=0, 由λ的任意性可知,矩阵A的特征值全为零
2 2 2 2 2 (2) A A A . A =0 0 0 0 =0 A = = = 设 为 的任一特征值， 的属于特征值 的特征向量 为 ，即 由于 ，有 ，且 ，故必有 ，即 ， 由 的任意性可知，矩阵 的特征值全为零 T T T 2 T T T T 2 : (1) A 0 0 A ( ) =0 A n 解 由 = 和 = ，有 ，且 = =( )( )= 即 为 阶零矩阵 T T 1 2 n 1 1 n T T 2 4. a a a b b b 0 n A (1) A (2) A 例 设向量 =( , ,..., )， =( , ,..., ) 都是 非零向量，且满足条件 = ，记 阶矩阵 = 。 试求: ； 矩阵 的特征值和特征向量
对于元=0,解齐次线性方程组(0E-A)X=0.不妨设向 量a,分量a1,b1≠0,由于 - a b -a b a 2m2 2 00 (0*EA)= a b 由此可得该方程组的基础解系为 Cn1=(-.,0,0,…,1) 于是,A的特征值元=0的全部特征向量为: c1a1+c2a2+…+Cn1an1(c1C2y…,Cn为不全为零的任一常数)
1 1 1 1 1 2 1 n 1 2 n 2 1 2 2 2 n n 1 n 2 n n =0 0*E-A X 0 a ,b 0 -a b -a b ... -a b b b ... b -a b -a b ... -a b 0 0 ... 0 0*E-A = -a b -a b ... -a b 0 0 ... 0 → 对于 ，解齐次线性方程组( ) = . 不妨设向 量 ， 中分量 ，由于 ( ) 由此可得该方程组的基础解系为 2 3 1 1 n 1 b T T b 1 2 b b b T n-1 b 1 1 2 2 n-1 n-1 1 2 n-1 ( ,1,0,...,0) ( ,0,1,...,0) ( ,0,0,...,1) A =0 c c ... c (c ,c ,...,c ) = − = − = − + + + ， ，...， 于是， 的特征值 的全部特征向量为： 为不全为零的任一常数
311 例5.已知向量a=(1,k,1)是矩阵A=131的逆矩阵A 特征向量,试求常数k的值 解:设α是A的属于特征值孔的特征向量,则Aa=元a. 两边左乘A,得a=Aa,即 4+k k=元131k=元2+3k 4+k 由此可得方程组 ∫孔(4+k)=1 1x2+3k)k k=-2 解得: 或 2
1 1 A A A A , 1 3 1 1 1 4 k k 1 3 1 k 2 3k 1 1 1 3 1 4 k 4 k 1 2 3k k k 2 k 1 1 1 2 5 + = = + + 解: 设 是 的属于特征值 的特征向量，则 = . - - 两边左乘 ,得 = 即 ( + )= 由此可得方程组 ( + )= = - = - 解得： 或 = = T 1 3 1 1 5 1 k 1 A= 1 3 1 A 1 1 3 k 例 .已知向量 =( , , ) 是矩阵 的逆矩阵 的- 特征向量,试求常数 的值
例6设矩阵A-5b3|,其行列式detA=-1,又A的 1-c0-a 伴随矩阵A*有一个特征值,属于A的一个特征向量 为a=(-1,-1,1),求a,b,c和值 b
0 T 0 a -1 c 6 A= 5 b 3 detA=-1 A 1-c 0 -a A 1 1 1 a b c * 例 .设矩阵 ，其行列式 ，又 的 伴随矩阵 有一个特征值，属于 的一个特征向量 为 =(- ,- , ) ,求 , , 和 值 ？
解:由已知条件,Aa=Aa.两边左乘矩阵A,并注意到 AA=deA·E=-E,得:AA·a=04a 所以,一Ea=10Aa,也就是AAa=-a,即 5b3l-1 (-a+1+c) (1) 由此可得方程组 见(-5-b+3)=1 (-1+c-a)=-1 由(1)和(3)解得4=1,将λ=1代入(2)和(1)得b=-3,a=c 由detA=-1和a=c,b=-3,有 detA 5 33 3=-1 故a=c=2,即a=2,b=-3,c=2,A=-1
0 0 0 0 0 0 A A AA det A E E AA A . E = A A a -1 c 1 1 5 b 3 1 1 1-c 0 -a 1 1 a 1 c 1 ( = = − = − = − = − * * * * 解: 由已知条件, = . 两边左乘矩阵 ,并注意到 ，得: 所以， ，也就是 ，即 - - - - (- + + )= 由此可得方程组 0 0 0 0 1) 5 b 3 1 (2) ( 1 c a) 1 (3) (1) (3) 1 1 (2) (1) b 3 a=c detA 1 a=c b 3 a 1 a detA= 5 3 3 a 3 1 1 a 0 a a= + + = = = = = = = (- - )= - - - 由 和 解得 ，将 代入 和 得 - ， 由 =- 和 ， - ，有 - - - - - - 故 0 c=2 a=2 b= 3 c=2 = 1 ，即 ， - ， ， -