解 (1)由于E-A=ME-A=EA,所以A的特征 多项式与A的特征多项式相同,从而特征值相同。 (2)当Ax=x时,有Ax=ax,从而a的特征值为 a/ an.. a (3)当Ax耐,有A2y=而的特征值为 21,2,,1 (4)当Ax耐,有AX小而的特征值为 (5)由于E-A=(-41)-2).(4-)令元=0得 A"=(-1)201→AN=412
解： （1）由于 ，所以 的特征 多项式与A的特征多项式相同，从而特征值相同。 （2）当 时，有 ，从而 的特征值为 （3）当 时，有 ，从而 的特征值为 （4）当 时，有 ，从而 的特征值为 （5）由于 T T | E A|=|( E A) |=| E-A | − − Ax= x i T A i aAx=a x aA 1 2 n a ,a ,...a Ax= x i Ax= x i Ax= x i 2 2 A x= x i k A 2 A 2 2 2 1 2 n , ,..., k k k 1 2 n , ,..., 1 2 i | E A|=( 0 − − − − = )( )...( ),令 得 -1 n A 1 A 1 2 n 1 2 n | | ... ... = → （- ） | |=
(6)当A可逆时,由于A=44则1A均不为1 0,由得xxA而x的特征值为 122xn (7)当A可逆时,由A=A再利用结论2和6,则A 的特征值为|A|A|A λ1x2 (8)412+541-1 (9)f(4,f(2)…,f(x1)
（6）当A可逆时，由于 则 均不为 0，由 得： ，从而 的特征值为 （7）当A可逆时，由于 ，再利用结论2和6，则 的特征值为 （8） (9) A 1 2 n | |= ... 1 2 n ， ，，... Ax= x i -1 i 1 A x= x -1 A 1 2 n 1 1 1 ... ， ，， 2 i i + − 5 1 * -1 A =|A|A 1 2 n |A| |A| |A| ... ， ，， * A 1 2 n f f f( ) ( ), ( )...,
例2.设A为n阶正交矩阵,且detA=-1,证明-1是A 的特征值。 由已知AA=E,所以 det(-e-a)=det(aaA)=detA det(A-E) detE-A) 得:2det(-E-A)=0 所以,det(-E-A=0,即-1是A的特征值。 det(E-A)=0 (or E-A=0)
例2. 设A为n阶正交矩阵，且detA=-1，证明-1是A 的特征值。 0 T T T AA E det E A det AA A detA det( A E) = det E A 2det( E A)=0 det( E A)=0 1 A det( E A)=0 or ) = = 由已知 ，所以 (- - )= (- - )= - - - (- - ) 得: - - 所以， - - ，即- 是 的特征值。 - - ( -E-A
例3.设λ是n阶矩阵A的一个特征值,试证 (1)m是A"的一个特征值(m为正整数); deta (2)若A可逆,则 是A的一个特征值。 (3)对任意数k,k-λ是矩阵kE-A的一个特征值。 证:由已知条件,存在a≠0,有Aa=1a (1)当m=2时,在上式两边左乘A,有 A2a=A0a=xa(a≠0) 即是A的一个特征值 假设x是矩阵Am的一个特征值,对应的 特征向量为a,则A"a=xa(a≠0),于是 Aa=a(aa)=no Aa=noa 即A是A"的一个特征值
0 2 2 0 0 2 0 m-1 m-1 0 m 1 m 1 0 m ma 0 Aa a (1) m 2 A A a Aa a (a 0) A A A 0 A A(A = = = - - 证:由已知条件，存在 ，有 = 当 = 时，在上式两边左乘 ，有 即 是 的一个特征值。 假设 是矩阵 的一个特征值，对应的 特征向量为 ，则 = ( )，于是: 1 m 1 m 0 0 m m 0 ) A A = = - 即 是 的一个特征值。 0 m m 0 0 0 3. n A (1) A m detA (2) A A (3) k k kE A * 例 设 是 阶矩阵 的一个特征值，试证 是 的一个特征值（ 为正整数）； 若 可逆，则 是 的一个特征值。 对任意数 ， - 是矩阵 - 的一个特征值
证:(2)若A可逆,则0≠0,且detA≠0。 在Aa=0a两边左乘A,有:AAa=A04a 即A deta c(由于AA=(detA)E no 所以 deta 为A*的一个特征值 (3)由于Aa=x2a(a≠0),有ka-Aa=ka-2a,即 (kE-A)a=(k-ao 所以k-是kE-A的特征值
0 * * 0 0 * 0 0 (2) A 0 detA 0 A A A A A detA A ( A A detA E) detA A = = * * * 证: 若 可逆，则 ，且 。 在 = 两边左乘 ，有: 即 由于 =( ) ， 所以， 为 的一个特征值。 0 0 0 0 (3) A ( 0), k A k kE A (k ) k kE A − = − = − − 由于 = 有 ，即 ( - ) 所以 是 - 的特征值