中方程的解2. 1. 3移项，得中方程为d2/d2=-md2/d2+m=0这是一个常系数二阶齐次线性方程，根据它的特征方程p2+m2=0的两个根：P=±Imli
2．1．3 Φ方程的解 Φ方程为 d2Φ/dφ2 = -mΦ 移项，得 d2Φ/dφ2 ＋ mΦ = 0 这是一个常系数二阶齐次线性方程，根据它的 特征方程 p2+m2 = 0 的两个根： P = ± m i
得到它的两个复函数形式的独立特解，即中m(Φ) = A e im式中：m=±Iml常数A可由归一化条件中㎡*中md=1求出J.2mm*Φmd=A2.2e-imgeimpdp=A22T
得到它的两个复函数形式的独立特解，即 Φm(φ) = A e imφ 式中 ： m =± m 常数 A 可由归一化条件∫Φm *Φmdφ = 1 求出， 1 = ∫0 2πΦm *Φm dφ = A2 ∫0 2πe -imφ e imφ dφ = A2 2π
A = (1/2)1/2代入中方程的解，得中m()= (1/2TT)1/2eim这是中方程解的复数形式。为了符合波函数的品优条件，Φm（9）应是变量β的单值函数。由于是循环坐标，在β变化一周后，中m（）的值应保持
A = (1/2π)1/2 代入Φ方程的解，得 Φm(φ)= (1/2π)1/2 e imφ （*） 这是Φ方程解的复数形式。为了符合波函数的品优 条件，Φm(φ) 应是变量φ的单值函数。由于φ是 循环坐标，在φ变化一周后，Φm(φ)的值应保持
于是有：■不变，即Φm()=中m(Φ十2)eim = e im (+2m)im2Timpe-im2T=得e根据Euler公式：eti=cosp土isinp im2 =cos(2m) +isin (2mT)=1
不变，即 Φm(φ)＝Φm(φ＋2π) 于是有： e imφ ＝ e im（φ＋2π) ＝ e imφe im2π 得 e im2π ＝ 1 根据 Euler 公式： e ±iφ = cosφ ± i sinφ e im2π ＝cos(2mπ) + i sin (2mπ)=1
■上式只有当m=0，±1，±2，..时才能成立，也就是说m的取值只能是量子化的，称m为磁量子数(*)式为复数形式的Φ函数，它是角动量沿z轴分量算符M的本征函数。M(-ih/2)d/dp
上式只有当 m＝0，±1，±2，.时才能成立， 也就是说 m 的取值只能是量子化的， 称 m 为磁量子数 (*)式为复数形式的Φ函数，它是角动量沿 z 轴分量算符 的本征函数 。 ＝ (－ih/2π) d/dφ ˆ M z ˆ M z