2连续势集的定义 定义:与0,1区间对等的集合称为连续势集, 其势记为冈,显然:<<N 例:1)R~(0,1)~[0,1~10,1)~R+~≤a,b>(a<b 2)无理数集为连续势集 (无理数要比有理数多得多,同理超越数要比代数数多得多) 若A≥N。,B≤N,则A∪B=A
定义：与[0,1]区间对等的集合称为连续势集， 其势记为 ， 显然： n 0 例：1）R~ (0,1) ~ [0,1] ~ [0,1) ~ R+~ <a,b> (a<b) , , . 若A 0 B 0 则A B = A 2 连续势集的定义 2）无理数集为连续势集 （无理数要比有理数多得多，同理超越数要比代数数多得多）
3连续势集的性质(卡氏积) (1)有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集 定理:设A={(x1,x2…x2…):x∈(01)则A=N 证明首先考虑映射x:(O)→A,x(x)=(x,x,) 容易验证x:(0)→A是单射, 所以()~x(0,1)cA因此A≥N 另一方面,对于A中的任意元素x=(x,x2…,xn 把每个x表示成十进制无穷小数:x=0x1x2x3
定理：设A ={( x1 , x2 , , xn , ): xi (0,1)},则A = 证明 首先考虑映射（: 0，1）→ A,(x) = (x, x, ) 1 2 3 1 2 0. ( , , , , ), i i i i i n x x x x x A x x x x = = 把每个 表示成十进制无穷小数： 另一方面，对于 中的任意元素 3 连续势集的性质（卡氏积） （1）有限个、可数个连续势的卡氏积仍为连续势集 : 0 1 (0,1) ~ ((0,1)) , A A A → 容易验证 （ ，） 是单射， 所以 因此
其中x1,x2,x2…是0,2,…,9中的一个数,不全为9 且不以0为循环节 x1=0.x112x13 x,=0.x1x2,X2 作映射g:A→>(0.1) 3 313233 (x)=0.x1 11-2112~13 容易验证供A→(0,1)是单射, 所以4~(4)c(0,1)因此A≤N 再由 Bernstein定理可知A=N
( ) 0. 11 21 12 13 22 : (0,1), x x x x x x A = → 作映射 再由Bernstein A 定理可知 = (0,1) ~ ( ) (0,1), A A A A → 容易验证 ： 是单射， 所以 因此 1 2 3 , , , 0 1 2 9 9 0 i i i 其中x x x 是 ，，， ，中的一个数，不全为 且不以 为循环节。 x1 = 0.x11x12x13 x2 = 0.x21x22x23 x3 = 0.x31x32x33
推论n维 Euclid空间R的势为N 平面与直线有“相同多”的点 1874年 Cantor考虑R与R对应关系,并企图证 明这两个集合不可能构成一一对应,过了三年, 他证明了 对应关系是存在的,从而说明R具 有连续基数N,他当初写信给Dmd说: “我看到了它,但我简直不能相信它
维 空间 的势为 n n Euclid R 1874年Cantor考虑 R 与Rn的对应关系，并企图证 明这两个集合不可能构成一一对应，过了三年， 他证明了一一对应关系是存在的，从而说明Rn具 有连续基数 ，他当初写信给Dedekind说： “我看到了它，但我简直不能相信它”. 推论 平面与直线有“相同多”的点