实变函数 第四章可测函数 第三节可测函数的收敛性(续)
第三节 可测函数的收敛性（续） 第四章 可测函数
各种收敛定义 几乎处处收敛:fn→fa.e于 去掉某个零测度集,在留下的集合上处处收敛 几乎一致收敛:fn→fau.于E 去掉某个小(任意小)测度集,在留下的集合上一致收敛 依测度收敛:fn→E Vo>0,有 lim mEu--f10 n→∞
各种收敛定义 f n f于E 0, lim [| − | ] = 0 → f f n n 有 m E 依测度收敛: 去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 几乎一致收敛: f n → f a.u.于E f n → f a.e.于E 去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 几乎处处收敛:
几乎处处收敛与几乎一致收敛(叶果洛夫定理) 设mE<+∞,fn,在E上几乎处处有限且可测, 着n→fae于E,则n→fa于E 设mE<+0,f,fE上几乎处处有限且可测, 着n→>fae于E,则n→∫于E( Lebesgue定理 引理:设m<+,f,f在E上几乎处处有限且可测, 着n→fae于E,则v>0有mm(uEMm)=0
若f n → f a.e.于E，则f n → f a.u.于E 几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理） [| | ] . . 0, lim ( ) 0 n f f N n N n f f a e E m E − → = 若 → = 于 ，则 有 引理：设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， 若f n → f a.e.于E ，则f n f 于E 设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测， （Lebesgue定理） 设mE<+∞，fn ，f在E上几乎处处有限且可测
叶果洛夫定理的证明 证明:又引理知∨6>0有mm(∪EDn≥)=0 → YA9>0A>032>0想u(E1)<于 oo N=W2K NRZM((NN)∠Z=9 ￥==y 令G=∩(∩E ISTI )6山骊·6CE 山E=E-6=E∪6=∪("=ym-N E (x)FE2一怀到(x) A羊A,A9,Ax∈E9飞“(x)-1()k￥
叶果洛夫定理的证明 0, lim ( [| − | ] ) = 0 → = f f N n N n 证明：又引理知 有 m E 1 1 [| | ] 2 0, 0, 0, ( ) k n k k k k f f n N N m E − = 从而 有 { ( )} ( ) | ( ) ( )| 1 1 f x E f x N n N x E f x f x n k k k n k 即 在上 一致收敛到 故 ， ， ， ，有 − ( ) [| | ] 1 1 n k k f f k n N c E E e E e E − = = = − = = 而 = = = − = = − = = k n k k n k k k f f k n N f f k n N m e m E e E e e E 2 1 [| | ] 1 [| | ] 1 ( ) ( ), 1 令 1 则 可测， 且
fn→>fae.于E k=1M=m=ND个=0 冷→m(∪∩∪E 对引理、叶果洛夫 定理及 Lebesgue 户m(Q以 Eu,-/26)=0(VE)(2)定理的证明的说明 N→∞n=Nfn-/≥1)=0 mmm((丿 (3) 叶果洛夫定理的证明 fn→>fal.于E(4) Lebesgue定理的证明 im m(e fx-f|≥E )=0(5) (5)<(6) fn→厅E(6) 引理mE<+∞ (1)兮(2)=(3)→(
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 引理：mE<+∞ lim ( ) 0 (3) [| − | ] = → = f f N n N n m E ( ) 0 ( ) (2) ( ) 0 . . (1) [| | ] 1 [| | ] 1 1 1 = = → − = = − = = = f f N n N f f k N n N n n n k m E m E f f a e于E 对引理、叶果洛夫 定理及Lebesgue 定理的证明的说明 (6) lim ( ) 0 (5) [| | ] f f E m E n f f N N 于 − = → Lebesgue定理的证明 叶果洛夫定理的证明 f f a.u. E (4) n → 于