33《直线的交点坐标与距离公式》导学案 【学习目标】 1.直线和直线的交点,二元一次方程组的解; 2.掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问是 3.理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式,会用点到直线距离 公式求解两平行线距离。 【导入新课】 用大屏幕打出直角坐标系中两直线,移动直线,让学生观察这两直线的位置关系 课堂设问一:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系, 那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系? 新授课阶段 1.两直线的交点坐标的求法 如果两条直线相交,联立方程组求,交点坐标与二元一次方程组的 是一一对应的。 1.若二元一次方程组有唯一解,l与l2相交 2.若二元一次方程组无解,则l与2平行 3若二元一次方程组有无数解,则1与l2重合。 例1求下列两直线交点坐标: l1:3x+4y-2=0 l2:2x+y+2=0 /13
1 / 13 3.3《直线的交点坐标与距离公式》导学案 【学习目标】 1. 直线和直线的交点，二元一次方程组的解； 2．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题。 3. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式，会用点到直线距离 公式求解两平行线距离。 【导入新课】 用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。 课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系， 那如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？ 新授课阶段 1. 两直线的交点坐标的求法 如果两条直线相交，联立方程组求 ，交点坐标与二元一次方程组的 是一一对应的。 1. 若二元一次方程组有唯一解， 1 l 与 2 l 相交。 2. 若二元一次方程组无解，则 1 l 与 2 l 平行。 3.若二元一次方程组有无数解，则 1 l 与 2 l 重合。 例 1 求下列两直线交点坐标： 1 l ：3x+4y-2=0； 2 l ：2x+y +2=0。 解：
例2已知a为实数,两直线l:ax+y+1=0,l2:x+y-a=0相交于一点,求证 交点不可能在第一象限及x轴上 分析 2.两点间距离公式的推导 平面直角坐标系中两点P,B2的距离P2|=(x2-x2)+(y2-y)。过P,P分别向x 轴和y轴作垂线,垂足分别为N(O,y),M2(x20),直线PN与BM2相交于点Q 在直角APPQ中,|PP|=P+|pP,为了计算其长度,过点P向x轴作垂线, 垂足为M1(x10)过点P向y轴作垂线,垂足为N2(O,y2),于是有 P2=M2M12=2-x1,P1=|NN2P=|n2-yP 所以,PP=|P2+1P1={x2-x+{y2-y2。 由此得到两点间的距离公式 例3以知点A(-1,2),B(2,,在x轴上求一点,使P4=|PB,并求|PA的 解: 2/13
2 / 13 例 2 已知 a 为实数，两直线 1 l ：ax + y +1 = 0， 2 l ： x + y − a = 0 相交于一点，求证 交点不可能在第一象限及 x 轴上. 分析： 解： 2. 两点间距离公式的推导 平面直角坐标系中两点 1 2 P P, 的距离 ( ) ( ) 2 2 PP x x y y 1 2 2 2 2 1 = − + − 。过 1 2 P P, 分别向 x 轴和 y 轴作垂线，垂足分别为 N y M x 1 1 2 2 (0 0 ， )， ( ， ) ，直线 PN P M 1 1 2 2 与 相交于点 Q。 在直角 PP Q 1 2 中， 2 2 2 PP PQ QP 1 2 1 2 = + ，为了计算其长度，过点 P1 向 x 轴作垂线， 垂足为 M x 1 1 ( ， 0) 过点 P2 向 y 轴作垂线，垂足为 N y 2 2 (0， ) ，于是有 2 2 2 2 2 2 PQ M M x x QP N N y y 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 = = − = = − ， 所以， 2 2 2 PP PQ QP 1 2 1 2 = + = 2 2 2 1 2 1 x x y y − + − 。 由此得到两点间的距离公式 例 3 以知点 A（-1，2），B（2， 7 ），在 x 轴上求一点，使 PA PB = ,并求 PA 的 值。 解：
例4证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析 证明: 3.点到直线距离公式 在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y),直线=0或B=0时,以上 公式l:Ax+By+C=0,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢? 设点P到直线l的垂线段为PQ,垂足为Q,由 y PQ⊥l可知,直线PQ的斜率为(A≠0),根据点R P(Xo, yo) 斜式写出直线PQ的方程,并由/与PQ的方程求出点 Q的坐标;由此根据两点距离公式求出|PQ|,得到 点P到直线l的距离为d 此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨另一种方法 方案二:设A≠0,B≠0,这时/与x轴、y轴都相交,过点P作x轴的平行线,交/于点 R(x1,y);作y轴的平行线,交/于点S(x0,y2), 3/13
3 / 13 例 4 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析： 证明： 3. 点到直线距离公式 在平面直角坐标系中，如果已知某点 P 的坐标为 ( , ) 0 0 x y ，直线＝0 或 B＝0 时，以上 公式 l : Ax + By + C = 0 ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢? 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ，垂足为 Q，由 PQ⊥ l 可知，直线 PQ 的斜率为 A B （A≠0），根据点 斜式写出直线 PQ 的方程，并由 l 与 PQ 的方程求出点 Q 的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到 点 P 到直线 l 的距离为 d 此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨另一种方法 方案二：设 A≠0，B≠0，这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交，过点 P 作 x 轴的平行线，交 l 于点 ( , ) 1 0 R x y ；作 y 轴的平行线，交 l 于点 ( , ) 0 2 S x y ， o x y l d Q S R P(x0 ,y0 )
A,x,+ Byo +C=o 由 得 B。-C Ax。+By,+C=0 B 所以,1PP|=1x-/~4x。+B+C A I PS yo-vI-Ax+Byo +C B RS|=√PR2+PS +B |Ax0+Bo+C|由三角形面积公式可知 d·|RS|=|PR|·|PS 所以 可证明,当A=0时仍适用 得到 点P(x,)到直线1:4x+b+C=0的距离为:d=4xn+Bn+C √A2+B 例5求点P=(-1,2)到直线3x2的距离。 解 例6已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求三角形ABC的面积 4/13
4 / 13 由 + + = + + = 0 0 0 2 1 1 0 Ax By C A x By C 得 B Ax C y A By C x − − = − − = 0 2 0 1 , . 所以，｜PＲ｜＝｜ 0 1 x − x ｜＝ A Ax0 + By 0 + C ｜PS｜＝｜ 0 2 y − y ｜＝ B Ax0 + By 0 + C ｜ＲS｜＝ AB A B PR PS 2 2 2 2 + + = ×｜ Ax0 + By0 +C ｜由三角形面积公式可知： d ·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜ 所以 可证明，当 A=0 时仍适用 得到： 点 ( , ) 0 0 P x y 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离为： 2 2 0 0 A B Ax By C d + + + = 例 5 求点 P=（-1，2）到直线 3x=2 的距离。 解： 例 6 已知点 A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形 ABC 的面积。 解：
4平行线间的距离公式 知两条平行线直线l和l2的一般式方程为1:Ax+By+C1=0 l2:Ax+By+C2=0,则l与l2的距离为d= 证 例7求两平行线l1:2x+3y-8=0,l2:2x+3y-10=0间的距离。 课堂小结 1直线与直线的位置关系求两直线的交点坐标,能将几何问题转化为代数问题来解决 并能进行应用。 2.两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代数的方法解决几何问题,建立直角 坐标系的重要性。 3.点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离转化 为点到直线的距离公式 作业 见同步练习部分 5/13
5 / 13 4.平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 1 l 和 2 l 的一般式方程为 1 l ： Ax + By +C1 = 0 ， 2 l ： Ax + By +C2 = 0 ，则 1 l 与 2 l 的距离为 2 2 1 2 A B C C d + − = 证明： 例 7 求两平行线 1 l ： 2x + 3y − 8 = 0 ， 2 l ： 2 3 10 0 x y + − = 间的距离。 解： 课堂小结 1.直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决， 并能进行应用。 2. 两点间距离公式的推导，以及应用，要懂得用代数的方法解决几何问题，建立直角 坐标系的重要性。 3. 点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化 为点到直线的距离公式。 作业 见同步练习部分