直线的交点坐标与距离公式习题(含答案) 单选题 1.已知xy满足}y-2≥0.时,z=ax+by(a≥b>0)的最大值为2,则直线ax+by- 1=0过定点() A.(3,1)B.(-1,3)C.(13)D.(-3,1) 2.椭圆164上的点到直线x+2y-V2=0的最大距离为( A.3B.Ⅵ11C.2yzD.√10 3.数学家欧拉在1765年发现,任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这 条直线称为欧拉线已知△ABC的顶点A(20),B(0,4),若其欧拉线的方程为x-y+2=0, 则顶点C的坐标为() A.(-4,0)B.(-3,-1)C.(-5,0)D.(-4,-2) 4.若点(2,k)到直线5x-12y+6=0的距离是4,则k的值是() D.-3或 5已知直线x+my+6=0和(m-2)x+3y+2m=0互相平行,则实数m的取值为 A.-1或3B.-1C.一3D.1或-3 6.在空间直角坐标系0-xyz中,若点A(1,2,1),B(-3,-1,4),点C是点A关于xOy平面 的对称点,则|BC|= 7.已知直线(a-1)x+3y+7=0与直线2x+y-3=0互相平行,则a=() A.6B.7C.8 8.已知双曲线C:一2=1(a>0b>0)的左、右焦点分别为,F,以线段FE为 直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为P,且P满足|PF|-PF2|=2b,则C的 离心率e满足() A.e2-3e+1=0B.e4-3e2+1=0C.e2-e-1=0 1=0 9.已知点P(m,n)在直线2x+y+1=0上运动,则m2+n2的最小值为() 试卷第 总4页
试卷第 1 页，总 4 页 直线的交点坐标与距离公式 习题（含答案） 一、单选题 1．已知𝑥, 𝑦满足{𝑦 − 2 ≥ 0, 𝑥+𝑦−8≤0 𝑥−2≥0 时, 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦(𝑎 ≥ 𝑏 > 0)的最大值为2,则直线𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 1 = 0过定点（ ） A． (3,1) B． (−1,3) C． (1,3) D． (−3,1) 2．椭圆 上的点到直线𝑥 + 2𝑦 − √2 = 0的最大距离为( )． A． 3 B． √11 C． 2√2 D． √10 3．数学家欧拉在 1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这 条直线称为欧拉线已知𝛥𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴(2,0),𝐵(0,4)，若其欧拉线的方程为𝑥 − 𝑦 + 2 = 0， 则顶点𝐶的坐标为（ ） A． (−4,0) B． (−3, −1) C． (−5,0) D． (−4, −2) 4．若点(2，k)到直线 5x-12y+6=0 的距离是 4，则 k 的值是( ) A． 1 B． -3 C． 1 或 5 3 D． -3 或 17 3 5．已知直线𝑥 + 𝑚𝑦 + 6 = 0和(𝑚 − 2)𝑥 + 3𝑦 + 2𝑚 = 0互相平行，则实数 m 的取值为 （ ） A． —1 或 3 B． —1 C． —3 D． 1 或—3 6．在空间直角坐标系𝑂 − 𝑥𝑦𝑧中，若点𝐴(1,2,1)，𝐵(−3, −1,4)，点𝐶是点𝐴关于𝑥𝑂𝑦平面 的对称点，则|𝐵𝐶| = A． √22 B． √26 C． √42 D． 5√2 7．已知直线(𝑎 − 1)𝑥 + 3𝑦 + 7 = 0与直线2𝑥 + 𝑦 − 3 = 0互相平行，则𝑎 =（ ） A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 8．已知双曲线𝐶： 𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2 = 1(𝑎 > 0,𝑏 > 0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，以线段𝐹1𝐹2为 直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为𝑃，且𝑃满足|𝑃𝐹1 | − |𝑃𝐹2 | = 2𝑏，则𝐶的 离心率𝑒满足（ ） A． 𝑒 2 − 3𝑒 + 1 = 0 B．𝑒 4 − 3𝑒 2 + 1 = 0 C．𝑒 2 − 𝑒 − 1 = 0 D． 𝑒 4 − 𝑒 2 − 1 = 0 9．已知点𝑃(𝑚, 𝑛)在直线2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0上运动，则𝑚2 + 𝑛 2的最小值为（ ） A． √5 5 B． √5 C． 1 5 D． 5
填空题 10.已知直线m的倾斜角为,直线:kx-y=0,若/m,则实数k的值为 11.经过点M(2,1)且与直线3x-y+8=0垂直的直线方程为 12.设P(n,n2)是函数y=x2图象上的动点,当点P到直线y=x-1的距离最小时, 13.与直线3x+4y=5平行,并且距离等于3的直线方程是 14.已知直线(a+3)x+y-4=0和直线x+(a-1)y+4=0互相垂直,则实数a的值 为 15.直线2x-y-1=0与直线6x-3y+10=0的距离是 16.已知直线l1:ax-2y-1=0,直线l2:√3x+y-2=0,则l1过定点 时,l1与l2平行 17.已知实数x1,x2y,y2满足x12+y12=1,x2+y2=1,x1x2+y1y2=,则 +的最大值为 18.点(-1,1)关于直线x-y-1=0的对称点是 三、解答题 19.如图:已知A,B是圆x2+y2=4与x轴的交点,P为直线l:x=4上的动点, PA,PB与圆的另一个交点分别为M,N (1)若P点坐标为(46),求直线MN的方程 (2)求证:直线MN过定点 20.已知椭圆C:x+2=1(a>b>0),F1、F2是其左右焦点,A1、A2为其左右顶 点,B1、B2为其上下顶点,若∠B1F2O=,|F1A1|= (1)求椭圆C的方程; 试卷第2页,总4页
试卷第 2 页，总 4 页 二、填空题 10．已知直线𝑚的倾斜角为𝜋 3 ，直线𝑙：𝑘𝑥 − 𝑦 = 0，若𝑙//𝑚，则实数𝑘的值为__________． 11．经过点 M (2,1) 且与直线 3 8 0 x y − + = 垂直的直线方程为__________． 12．设𝑃(𝑛, 𝑛 2 )是函数𝑦 = 𝑥 2图象上的动点，当点𝑃到直线𝑦 = 𝑥 − 1的距离最小时， 𝑛 =____. 13．与直线3𝑥 + 4𝑦 = 5平行，并且距离等于 3 的直线方程是__________． 14．已知直线(𝑎 + 3)𝑥 + 𝑦 − 4 = 0和直线𝑥 + (𝑎 − 1)𝑦 + 4 = 0互相垂直，则实数𝑎的值 为__________； 15．直线2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0与直线6𝑥 − 3𝑦 + 10 = 0的距离是________． 16．已知直线𝑙1 :𝑎𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0 ，直线𝑙2 : √3𝑥 + 𝑦 − 2 = 0，则𝑙1过定点_____________ ； 当𝑎 =________时，𝑙1与𝑙2平行． 17 ． 已 知 实 数 𝑥1 ,𝑥2 , 𝑦1 ,𝑦2 满 足 𝑥1 2 + 𝑦1 2 = 1, 𝑥2 2 + 𝑦2 2 = 1, 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 = 1 2 ， 则 |𝑥1+𝑦1−1| √2 + |𝑥2+𝑦2−1| √2 的最大值为____________ 18．点(−1,1)关于直线𝑥 − 𝑦 − 1 = 0的对称点是______. 三、解答题 19．如图：已知𝐴,𝐵是圆𝑥 2 + 𝑦 2 = 4与𝑥轴的交点，𝑃为直线𝑙: 𝑥 = 4上的动点， 𝑃𝐴,𝑃𝐵与圆的另一个交点分别为𝑀, 𝑁. （1）若𝑃点坐标为(4,6)，求直线𝑀𝑁的方程； （2）求证：直线𝑀𝑁过定点. 20．已知椭圆𝐶: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2 = 1 (𝑎 > 𝑏 > 0)，𝐹1 、𝐹2是其左右焦点，𝐴1 、𝐴2为其左右顶 点，𝐵1 、𝐵2为其上下顶点，若∠𝐵1𝐹2𝑂 = 𝜋 6 ，|𝐹1𝐴1 | = 2 − √3 (1)求椭圆𝐶的方程；
(2)过A1、A2分别作x轴的垂线l1、l2,椭圆C的一条切线:y=kx+m(k≠0),l与l1、 l2交于M、N二点,求证:∠MF1N=∠MF2N 21.已知△ABC的三个顶点A(m,n),B(2,1),C(-2,3) (I)求BC边所在直线方程 (Ⅱ)BC边上中线AD的方程为2x-3y+6=0,且S△ABC=7,求m,n的值 22.光线通过点A(2,3),在直线x+y+1=0上反射,反射光线经过点B(1,1) (1)求点A(2,3关于直线对称点的坐标 (2)求反射光线所在直线的一般式方程 23.已知直线1:2x+y+2=0:l2:mx+4y+n=0 (1)若l⊥l2,求m的值 (2)若L1/1,且他们的距离为√5,求m,n的值 24.选修4-4坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系x0y中,曲线C1 y=√7sm(a为参数,以O为极点x轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为p=8c0s,直线l极坐标方程为=p∈R) (I)求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程 (Ⅱ)若直线l与C1,C2在第一象限分别交于A,B两点P为C2上的动点求APAB面积的最大 25.如图,在平面直角坐标系xoy中,圆0:x2+y2=4与x轴的正半轴交于点A,以点A 为圆心的圆A:(x-2)2+y2=r2(r>0)与圆O交于B,C两点 (1)当r=√时,求BC的长 (2)当r变化时,求AB·AC的最小值 (3)过点P(6,0)的直线l与圆A切于点D,与圆O分别交于点E,F,若点E是DF的中点 试求直线l的方程. 试卷第3页,总4页
试卷第 3 页，总 4 页 (2)过𝐴1 、𝐴2分别作𝑥轴的垂线𝑙1 、𝑙2，椭圆𝐶的一条切线𝑙: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑚 (𝑘 ≠ 0)，𝑙与𝑙1 、 𝑙2交于𝑀 、𝑁二点，求证：∠𝑀𝐹1𝑁 = ∠𝑀𝐹2𝑁． 21．已知△ 𝐴𝐵𝐶的三个顶点𝐴(𝑚, 𝑛)，𝐵(2,1)，𝐶(−2,3)． (Ⅰ)求 BC 边所在直线方程； (Ⅱ)𝐵𝐶边上中线 AD 的方程为2𝑥 − 3𝑦 + 6 = 0，且𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 7，求 m，n 的值． 22．光线通过点𝐴(2,3)，在直线𝑙: 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0上反射，反射光线经过点𝐵(1,1). (1)求点𝐴(2,3)关于直线𝑙对称点的坐标； (2)求反射光线所在直线的一般式方程． 23．已知直线 1 l x y : 2 2 0 + + = ； 2 l mx y n : 4 0 + + = ． （1）若 1 2 l l ⊥ ，求 m 的值． （2）若 1 2 l l // ，且他们的距离为 5 ，求 m n, 的值． 24．选修4 − 4:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系𝑥𝑂𝑦中,曲线𝐶1 :{ 𝑥 = 2 + √7cos𝛼 𝑦 = √7sin𝛼 (𝛼为参数).以𝑂为极点,𝑥轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,曲线𝐶2的极坐标方程为𝜌 = 8cos𝜃,直线𝑙的极坐标方程为𝜃 = 𝜋 3 (𝜌 ∈ 𝑅). (Ⅰ) 求曲线𝐶1的极坐标方程与直线𝑙的直角坐标方程； (Ⅱ) 若直线𝑙与𝐶1 ,𝐶2在第一象限分别交于𝐴,𝐵两点,𝑃为𝐶2上的动点,求𝛥𝑃𝐴𝐵面积的最大 值. 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：𝑥 2 + 𝑦 2 = 4与𝑥轴的正半轴交于点𝐴，以点𝐴 为圆心的圆𝐴：(𝑥 − 2) 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2(𝑟 > 0)与圆𝑂交于𝐵，𝐶两点. （1）当𝑟 = √2时，求𝐵𝐶的长； （2）当𝑟变化时，求𝐴𝐵⃑⃑⃑ · 𝐴𝐶⃑⃑ 的最小值； （3）过点𝑃(6,0)的直线𝑙与圆 A 切于点𝐷，与圆𝑂分别交于点𝐸，𝐹，若点𝐸是𝐷𝐹的中点， 试求直线𝑙的方程
26.已知直线经过点P(-25),且斜率为3 (1)求直线l的方程 (2)求与直线l平行,且过点(2,3)的直线方程 (3)求与直线垂直,且过点(23)的直线方程 27.如图,已知三角形的顶点为A(2,4),B(0,-2),(-2,3),求 (1)直线AB的方程 (2)4B边上的高所在直线的方程 (3)AB的中位线所在的直线方程 试卷第4页,总4页
试卷第 4 页，总 4 页 26．已知直线 l 经过点 P 2,5 (− ) ，且斜率为 3 4 − ． （1）求直线 l 的方程． （2）求与直线 l 平行，且过点 (2,3) 的直线方程． （3）求与直线 l 垂直，且过点 (2,3) 的直线方程． 27．如图，已知三角形的顶点为 A(2,4)，B(0，－2)，C(－2,3)，求： (1)直线 AB 的方程； (2)AB 边上的高所在直线的方程； (3)AB 的中位线所在的直线方程．
参考谷案 【解析】分析:由约束条件作出可行域,得到使目标函数取得最大值的最优解,求出最优解 的坐标,代入目标函数得到a,b的关系,再代入直线ax+by-1=0由直线系方程得答案 x+y=8 ,6 y2+c22 B6,2) 详解 =2 由z=ax+by(a≥b>0),得y=-x+ (-≤-1),画出可行域,如图所示,数学结合可知在点B(62)处取得最大值,6a+2b 即:3a+b=1,直线ax+by-1=0过定点(3,1) 故选A. 点睛:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想 方法,属中档题 2.D 【解析】椭圆方程为+2=1,:可设椭圆上的任意一点P坐标为(42ma),P到直线 x+2y-2=0的距离以=上与团 4V2≤42sina(a+ )420-2≤√ma的最大值为,故选D 【解析】 【分析 设出点C的坐标,由重心坐标公式求得重心,代入欧拉线得一方程,求出AB的垂直平分线, 和欧拉线方程联立求得三角形的外心,由外心到两个顶点的距离相等得另一方程,两方程联 立求得点C的坐标 【详解】 设C(m,m)由重心坐标公式得,三角形ABC的重心为()代入欧拉线方程得:2m +2=0整理得:m-n+4=0 答案第1页,总14页
答案第 1 页，总 14 页 参考答案 1．A 【解析】分析：由约束条件作出可行域，得到使目标函数取得最大值的最优解，求出最优解 的坐标，代入目标函数得到𝑎，𝑏 的关系，再代入直线𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 1 = 0由直线系方程得答案． 详解： 由 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦(𝑎 ≥ 𝑏 > 0) ， 得 𝑦 = − 𝑎 𝑏 𝑥 + 𝑧 𝑏 (− 𝑎 𝑏 ≤ −1)，画出可行域，如图所示，数学结合可知在点𝐵(6,2)处取得最大值，6𝑎 + 2𝑏 = 2， 即： 3𝑎 + 𝑏 = 1，直线𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 − 1 = 0过定点(3,1). 故选 A. 点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想 方法，属中档题． 2．D 【解析】∵椭圆方程为𝑥 2 16 + 𝑦 2 4 = 1, ∴可设椭圆上的任意一点𝑃坐标为(4cos𝛼, 2𝑠𝑖𝑛𝛼), ∴ 𝑃到直线 𝑥 + 2𝑦 − √2 = 0的距离𝑑 = |4cos𝛼+2×2𝑠𝑖𝑛𝛼−√2| √1 2×2 2 = |4√2𝑠𝑖𝑛(𝛼+ 𝜋 4 )−√2| √5 ， ∵ −4√2 ≤ 4√2𝑠𝑖𝑛𝛼 (𝛼 + 𝜋 4 ) ≤ 4√2, ∴ 0 ≤ |4√2𝑠𝑖𝑛(𝛼+ 𝜋 4 )−√2| √5 ≤ √10, ∴ 𝑑的最大值为√10，故选 D. 3．A 【解析】 【分析】 设出点 C 的坐标，由重心坐标公式求得重心，代入欧拉线得一方程，求出 AB 的垂直平分线， 和欧拉线方程联立求得三角形的外心，由外心到两个顶点的距离相等得另一方程，两方程联 立求得点 C 的坐标 【详解】 设 C（m，n），由重心坐标公式得，三角形 ABC 的重心为( 2+𝑚 3 , 4+𝑛 3 )代入欧拉线方程得：2+𝑚 3 − 4+𝑛 3 + 2 = 0整理得：m-n+4=0 ①