追赶法的计算公式 A=LU分解公式:{=a/ln1(=2,3,…,m) u;=b-C_I 解Ly=d得: Dk=dk -lkyk(k=2, 3, ..,n) 再解Ux=y得: y x=(vk-Ckx+)/lk(k=n-1,n-2…,1) 追赶法的基本思想与 Gause消去法及三角分解法相同,只 是由于系数中出现了大量的零可使计算公式简化减少了计 算量。可证,当系数矩阵为严格对角占优时,此方法具有良好 的数值稳定性
追赶法的计算公式 1 1 1 1 1 1 1 1 / ( 2,3, , ) ( 2,3, , ) / : ( ) / ( 1, 2, ,1) , i i i i i i i k k k k n n n k k k k k u b A LU l a u i m u b c l y d Ly d y d l y k n x y u Ux y x y c x u k n n Gause − − − + = = = = = − = = = − = = = = − = − − 分解公式： 解 得： 再解 得 追赶法的基本思想与 消去法及三角分解法相同只 是由于系数中出现了大 , , , , 量的零 可使计算公式简化 减少了计 算量。可证 当系数矩阵为严格对角占优时 此方法具有良好 的数值稳定性
§5向量和矩阵的范数 向量范数 向量范数定义: 设对任意向量x∈R",按一定的规则有一实数 与之对应,记为x若满足 1,‖x≥0,且‖x=0当且仅当x=0;(正定) 2,|ax=al·|‖,a为任意实数(齐次) 3,‖x+川sx+y,对任意x,y∈R (三角不等式) 则称‖x‖为向量的范数
§5.向量和矩阵的范数 一、向量范数 : , , , 1, 0 , 0 0; ( ) 2, , ( ) 3, , n n x R x x x x x x x x y x y , x y R = = = + + 向量范数定义 设对任意向量 按一定的规则有一实数 与之对应 记为 若 满足 且 当且仅当 正定 为任意实数 齐次 对任意 ( ) x x 三角不等式 则称 为 向量 的范数
向量范数例 =√x2+…+x2=(x2 A.=max1x…xy=max|xl 1≤in X xC X 1/p
向量范数例 x x x ( x ) n n i ∑ 1 2 i 2 1 2 2 1 2 = ++ = = 1 i 1 1 n n i x x x x = = + + = x max{ x , , x } max{ x } i n n i 1≤≤ ∞ = 1 = 1/ 1 , p n p p i i x x = =
可验证上面范数均满足范数定义的条件。 以∞o-范数为例 满足条件1,2显然。 由于x,y∈R为向量,而其分量x2y(i=1,…,n) 为实数,故有 lx+Ill =max{x;+y}≤max x+y1} 1<i<n ≤max{x}+ma×y}=1+y
1 1 1 1 - : 1,2 , , ( 1, , ) max max max max n i i i i i i i n i n i i i n i n x y R x y i n x y x y x y x y x y = + = + + + = + 可验证上面范数均满足范数定义的条件。 以 范数为例 满足条件 显然。 由于 为向量，而其分量 为实数，故有
例:计算向量x=(1,-2,3)的各种范数。 解:|x1=6,‖x=3,|x2=√14 如果R"中两个范数‖‖和‖·,存在实数 m,M>0,使得对任意n维向量x,都有 m|≤|x≤M|x, 则称这两个范数是等价的 对两个等价范数而言,同一向量序列有 相同的极限
1 2 ' ' (1, 2,3) 6, 3, 14. , 0 , T n x x x x R m M n x m x x M x = − = = = 例：计算向量 的各种范数。 解： 如果 中两个范数 和 ，存在实数 ，使得对任意 维向量 都有 ， 则称这两个范数是等价的。 对两个等价范数而言，同一向量序列有 相同的极限