泰勒中值定理: 若/(在包含的某开区间(ab)内具有 直到n+1阶的导数,则当x∈(,b)时有 f(x)=f(x)+f(x)(x-x)+00(x-x0)2+ fm(xo( x-x0)+R(x) (n+1) 其中Rn(x) (x-x0)(在x0与x之间)② (n+1) 公式①称为f(x)的n阶泰勒公式 公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项 学 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 泰勒 上页下页返回结束
公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − R (x) + n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x ② 则当 ) 0 ( 在x 与x之间 泰勒 目录 上页 下页 返回 结束
注意到R,(x)=o(x-x0)"] 在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为 f(x)=f(x0)+f(x0(x-x)+ (x-x0)2+ (x-x0)+o(x-x)”]④ n I 公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺( Peano)余项 2可以证明 f(x)在点x0有直到n阶的导数 ④式成立 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结味
公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) 0 ( 0 ) 2 + 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − [( ) ] 0 n + o x − x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x = o x − x ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束
f(x)=f(x)+f(x0)(x-x)+f(x) X (n+1)! 特例: 5在x0与x之间) (1)当n=0时,泰勒公式给出拉格朗日中值定理 f(x)=f(x)+f(2x-x0)(在x与x之间) (2)当n=1时,泰勒公式变为 f(x)=f(x0)+f(x0(x-x0)+27(x-x0) 可见f(x)≈f(x)+f(x)x-x)(5在x0与x之间 误差R(1)= 3(x-xn)2(在x0与x之间 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动 上页下页返回结束
特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 + f x − x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x 2 0 ( ) 2! ( ) x x f − + 可见 误差f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − d f ) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间 ) 0 ( 在x 与x之间 机动 目录 上页 下页 返回 结束
在泰勒公式中若取x0=0,5=0x(0<0<1),则有 f(x)=/(0+f(0)x+(0 2! (n+(x)、n+1 (n+1)! 称为麦克劳林( Maclaurin)公式 马光林 由此得近似公式 (n) f(x)≈f(0)+f(O)x+ 2! 若在公式成立的区间上/1(x)sM则有误差估计式 M R2(x) +1 (n+1) HIGH EDUCATION PRESS 8 麦克劳林目录上页下页返回结束
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 0 , (0 1) , x0 = = x 则有 f (0)+ f (0)x 2 + 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 在泰勒公式中若取 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x − + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − ) 0 ( 在x 与x之间 f (x) f (0) + f (0)x + ( ) , ( 1) f x M n + 则有误差估计式 1 ( 1)! ( ) + + n n x n M R x 2 2! (0) x f + n n x n f ! (0) ( ) + 若在公式成立的区间上 麦克劳林 目录 上页 下页 返回 结束 由此得近似公式