第八节 第一章 数的连续性与间断点 函数连续性的定义 二、函数的间断点 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
二、 函数的间断点 一、 函数连续性的定义 第八节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的连续性与间断点 第一章
函数连续性的定义 定义:设函数y=f(x)在x0的某邻域内有定义,且 imf(x)=f(x),则称函数f(x)在x连续 x→>x0 可见,函数f(x)在点x连续必须具备下列条件 (1)f(x)在点x有定义,即f(x0)存在; (2)极限limf(x)存在; 3)lim f(x)=f(ro) x→)x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结
可见 , 函数 在点 0 x 一、 函数连续性的定义 定义: 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 ( ) . f x 在x0 连续 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束
若f(x)在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上 连续,或称它为该区间上的连续函数 在闭区间[a,b上的连续函数的集合记作C[a,b] 例如,P(x)=a+a1x+…+anx"(有理整函数) 在(-∞,+∞)上连续 又如,有理分式函数R(x)(x) X 在其定义域内连续 只要Q(x)≠0,都有limR(x)=R(xo) HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录 下页返回结
( , ), lim ( ) ( ) continue 0 0 0 x P x P x x x − + = → 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . C[a, b]. 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 ( ) 0, Q x0 都有 lim ( ) ( ) 0 0 R x R x x x = → 机动 目录 上页 下页 返回 结束
对自变量的增量Ax=x-x0,有函数的增量 Ay=f(x)-f(o)=f(xo+Ax)-f(o) 函数f(x)在点xo连续有下列等价命题 limf(x)=f(x0)←1imf(xo+△x)=f(x) x→>x △x->0 lim△y=0 yy=f( △x→>0 △y f(x0)=f(x0)=f(x+) 左连续右连续 O ∨E>0,8>0.当 x-x0=Ax<δ时有 f(x)-f(x)=△y|<6 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
对自变量的增量 有函数的增量 y = f (x) o x y 0 x x x y lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → lim ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x x + = → lim 0 0 = → y x ( ) ( ) ( ) 0 0 0 − + f x = f x = f x 左连续 右连续 0, 0, 当 x − x0 = x 时, 有 f (x) − f (x ) = y 0 函数 在点 连续有下列等价命题: 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例证明函数y=sinx在(-∞,+∞)内连续 证:Mx∈(-∞,+∞) Ay=sin(x+Ax)-sinx =2sin coS(x+)) Ayl=2 sin 2 cos(x+ △x→>0 <2 3/·1=△x 0 即y=0 △x->0 这说明y=sinx在(-∞,+∞)内连续 同样可证:函数y=cosx在(-∞,+∞)内连续 学 HIGH EDUCATION PRESS o。8 机动目录上页
例. 证明函数 在 内连续 . 证: x(−, + ) y = sin(x + x) −sin x 2 sin cos( ) 2 2 x x y x = + = x x → 0 即 这说明 在 内连续 . 同样可证: 函数 在 内连续 . 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束