fn(x)nx例 证明函数列在 [0,1] 上收敛但不一致收敛f,(x) =1+n'x?证明1） 函数列在 [0,1] 上收敛。n显然 对任意的 xe[0,1] ,→0f,(x) =I + nx?2）但 f,(x)不一致收敛于 02025/12/316
2025/12/31 6 例 证明函数列 2 2 1 ( ) n x nx f x n + = 在 [0, 1] 上收敛但不一致收敛 证明 1）函数列在 [0, 1] 上收敛。 显然 对任意的x [0,1] ， ( ) 0 1 2 → + = nx n f x n n 2）但 f (x) n 不一致收敛于 0 f(x) fn(x)
先看一看函数列的图象（图中给出的是 n=8，20，50 的情况c1f, x=0:1/100:1;y1=8*x. / (1+64*x.~2) ;y2=20*x. / (1+400*x. ~2) ;y3=50*x. / (1+2500*x. ~2) ;plot(x, yl, x, y2, x, y3,' 1inewidth', 2)hold onplot([-0. 1, 1], [0, 0],'b', [0, 0], [-0. 1, 0. 6],'b')axis ([-0. 1, 1. 2, -0. 1, 0. 6])legend(' yl, n=8', y2, n=20',y3, n=50')2025/12/311
2025/12/31 7 先看一看函数列的图象（图中给出的是 n＝8，20，50 的情况） clf,x=0:1/100:1; y1=8*x./(1+64*x.^2); y2=20*x./(1+400*x.^2); y3=50*x./(1+2500*x.^2); plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2) hold on plot([-0.1,1],[0,0],'b',[0,0],[-0.1,0.6],'b') axis([-0.1,1.2,-0.1,0.6]) legend('y1,n=8','y2,n=20','y3,n=50')
0.6y1,n=8y2,n=200.5y3,n=500.40.30.20.1o-0.100.20.40.60.812可以看出，对于ε<0.5，无论 n 再大，f,(x)的图象总有一部分落在ε一带以外。事实上存在 xno =一 ，1 fno(o)- f(x)2025/12/318
2025/12/31 8 可以看出，对于 0.5 0 ，无论 n 再大，f (x) n 的图象总有一部分落在 0 －带以外。 事实上存在 n xn 1 0 = ， 0 0 0 2. 1 | f (x ) − f (x) |= n n ， 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 y1,n=8 y2,n=20 y3,n=50
所以该函数列是不一致收敛的例函数列(x" 在[0,1]上不一致收敛，但在 [0,α],α<1 上一致收敛先看看该函数列的图象c1f, x=0:1/100:1;yl=x.4;y2=x.~10;y3=x. ~50;plot(x, yl, X, y2, x, y3,linewidth',2)2025/12/31L
2025/12/31 9 所以该函数列是不一致收敛的。 例 函数列 { } n x 在[0,1]上不一致收敛，但在 [0, ] , 1 上一致收敛。 先看看该函数列的图象 clf,x=0:1/100:1; y1=x.^4;y2=x.^10;y3=x.^50; plot(x,y1,x,y2,x,y3,'linewidth',2)
0.90.80.70.60.50.40.30.20.1000.10.20.30.40.50.70.80.90.6对于<l，不管 n 再大，x"的图象总有一部分落在一带以外事实上，我们容易看出(I-l"→}→n 充分大时，(1-l)">! 所以该函数列在[0,1]上不一致收n敛。102025/12/31
2025/12/31 10 对于 1 0 ，不管 n 再大， n x 的图象总有一部分落在 0 －带以外。 事实上，我们容易看出 n n e − n → 1 ) 1 (1 充分大时， 3 1 ) 1 (1− n n 所以该函数列在[0,1]上不一致收 敛。 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1