定理8.6设X为维随机向量,且∑=D(X)存 在,则X的第个主成分与方差D()分别为 H=t1X,D(H)=,i=1,2,…,p, 其中λ为∑的特征值,t为对应的单位特征向量。 定理的证明要用到较深的线性代数知识,故此省略。 若记 0 A 0 (8.27) T=(t1,t2…, P Y=(Y Y…Y 1129 P 湘潭大学数学与计算科学院一页一页6
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 6 定理 8.6 设X 为p 维随机向量，且 = D(X)存 在，则X 的第i 个主成分Yi 与方差 ( ) D Yi 分别为 Y t X T i = i ， D Yi = i ( ) ，i = 1,2,, p ， 其中i 为的特征值， i t 为对应i 的单位特征向量。 定理的证明要用到较深的线性代数知识，故此省略。 若记 = p A 0 0 2 1 ( , , , ) 1 2 p T T = t t t （8.27） ( , , ) 1 2 p T Y = Y Y Y
则由定理可得如下等价说法。 系设为维随机向量的分量V,…,Y依次是 X的第一主成分…,第主成分的充要条件是 (1)Y=TX,T为正交阵; (2)D(Y)为对角阵dag(巩,2,…,n); (3)1≥几2≥…≥λ 若设正交阵T=(tn),i,=1,2,…,P,则可得以下结论: (1)D(Y)=A其中A由(8.27)式给出 (2)∑=∑σ其中为矩障∑主对角线上的第 个元素; 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 7 则由定理可得如下等价说法。 系 设Y 为p 维随机向量，Y 的分量Y Yp , , 1 依次是 X 的第一主成分…，第p 主成分的充要条件是： （1）Y T X T = ，T 为正交阵； （2）D(Y )为对角阵diag( , , , ) 1 2 p ； （3）1 2 p。 若设正交阵 ( )i j T = t ，i, j = 1,2,, p，则可得以下结论： （1）D(Y ) = A其中A由（8.27）式给出： （2） = = = p i i i p i i 1 1 其中 i i 为矩阵 主对角线上的第i 个元素；
(3)主成分与原来变量X的相关系数p(x,X1 称做因子负荷量 p(K,X,)=√气t1/√Gn,k,i=1,2,…,P;(8.29) (4)∑p(,X)=; (8.30) (5)∑p(Y,X)=∑a=1。(831 k=1 定义82在主成分分析中,称λ∑为主成分的贡 献率,称∑/∑为主成分H,,的累计贡献率 湘潭大学数学与计算科学学院一页一页
湘潭大学数学与计算科学学院 上一页 下一页 8 （3）主成分Yk 与原来变量 Xi 的相关系数 ( , ) Yk Xi 称做因子负荷量 (Yk , Xi ) = k t i k / i i , k,i = 1,2,, p； （8.29） （4） k i k p i i i Y X = = ( , ) 1 2 ； （8.30） （5） = = = = p k k i k i k i i p k Y X t 1 2 1 2 ( , ) 1。 （8.31） 定义 8.2 在主成分分析中，称 = p i k i 1 / 为主成分Yk 的贡 献率，称 = = p i i m i i 1 1 / 为主成分Y Ym , , 1 的累计贡献率