于是(G())=294,6=-(a) k=1 =1 l(s,61)= e,o()=6,∑ya=∑ akili,k =1 k=1 (6i,E;)= 由σ是对称变换,有(o(2, o(a 所以A为对称矩阵
11 于是 ( ) 1 ( ), , n i j ki k j k a = = 1 ( , ) n ki k j k a = = ( , ) ji j j = a ji = a ( ) 1 , ( ) , n i j i kj k k a = = 1 ( , ) n kj i k k a = = ( , ) ij i i = a ij = a , , 1,2, , ij ji 即 = = i j n 所以A为对称矩阵． 由 是对称变换，有 ( ( ), , ( ) i j i j ) = ( )
2)(引理3)对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间 证明:设σ是对称变换,W为σ的不变子空间 对a∈W1,要证a(a)∈W,即证σ(a)⊥W 任取B∈W,由W是σ-子空间,有G(B)∈W, 因此(o(a),月)=(a,o()=0 即σ(a)⊥W,∴σ(a)∈W1 故W也为a的不变子空间 12
12 2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间． 对 W , ⊥ 任取 W , 即 ( ) , ⊥ W ( ) . W ⊥ 证明：设 是对称变换，W为 的不变子空间． 要证 ( ) , W ⊥ 即证 ( ) . ⊥ W 由W是 − 子空间，有 ( ) , W 因此 ( ( ), , ( ) 0 ) = = ( ) 故 W ⊥ 也为 的不变子空间．