二、自由度为n的t分布T~t(m) 随机变量T 所服从的分布 (其中X~N(0,1),y~x2(n),X与Y相互独立) 数学期望E(T)=0,方差D(T)=n/(n-2),(n>2) T的密度函数为偶函数; lim f(r) e2,即n充分大时,t分布近似N(0,1) 2丌 但n较小时,t分布与N(0,1)分布相差很大 t分布的尾部比标准正态分布的尾部具有更大的概率 t分布的上侧a分位数/n≤45时,查附表求P(T>t(m)=a n>45时
即n充分大时, t分布近似 N(0,1). T 的密度函数为偶函数； (其中X～N(0,1), Y～ 2 (n), X 与 Y 相互独立) Y n X T = 所服从的分布, 二、自由度为n 的 t 分布 T ～ t (n) 数学期望 E(T)= 0 , ——随机变量 , 2 1 lim ( ) 2 2 x n f x e − → = 方差 D(T)= n/(n-2) , (n>2). t 分布的尾部比标准正态分布的尾部具有更大的概率 但 n 较小时，t 分布与 N(0,1)分布相差很大 查附表求 P(T > t (n))= t u , t 分布的上侧 分位数 n 45 时, n > 45 时，
三、第一自由度为m,第二自由度为n的F分布F~F(m2n) 统计量F=Xm所服从的分布 (随机变量x与Y独立,且Y~x2(m,Y~x2(n) 数学期望E(X)=n"2,n>2,不依赖于第一自由度 F分布的性质:10若X~F(m,n),则1/X~F(n2,m) 20若X~t(m,则X2~F(1,n); 查F分布附表可求P(F>Fa(mn))=a, F分布上侧a分位数的性质F1a(m,n) Fa(n, m)
( 随机变量X与Y独立, 且Y～ 2 (m), Y～ 2 (n) ) 所服从的分布 Y n X m F = 三、第一自由度为m , 第二自由度为n的F 分布 F ~ F(m, n) 数学期望 , 2. 2 ( ) − = n n n E X —— 统计量 F 分布的性质: 10 若X ~F(m, n), 则 1/X ~F(n, m). 20 若 X ~ t (n), 则 X 2 ~ F(1, n); 不依赖于第一自由度 . ( , ) 1 ( , ) 1 F n m F m n − = 查 F 分布附表可求P(F >F (m,n) )= , F 分布上侧 分位数的性质
§3抽样分布 统计量是样本的函数,是依赖于样本的,后者是随机变量, 所以统计量也是随机变量,因而就有它们自己一定的分布,这个 分布叫做统计量的“抽样分布” 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性,完全取决 于其抽样分布的性质 抽样分布 精确抽样分布一一小样本问题中使用 渐近分布一一大样本问题中使用 抽样分布就是通常的随机变量函数的分布,只是强调这一分 布是由一个统计量所产生的.所以在理论上只要知道总体的分布就 可以求出统计量的分布,但实际操作一般都很难求 重点以正态分布为背景,给出几个常用统计量的抽样分布
只是强调这一分 布是由一个统计量所产生的. 统计量是样本的函数, 是依赖于样本的, §3 抽样分布 抽样分布 精确抽样分布 渐近分布 ——小样本问题中使用 ——大样本问题中使用 这个 分布叫做统计量的“抽样分布”. 后者是随机变量, 所以统计量也是随机变量, 因而就有它们自己一定的分布, 抽样分布就是通常的随机变量函数的分布, 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决 于其抽样分布的性质. 所以在理论上只要知道总体的分布就 可以求出统计量的分布, 但实际操作一般都很难求. 重点以正态分布为背景, 给出几个常用统计量的抽样分布
正态总体的抽样分布定理 当总体为正态分布时,教材上给出了4个重要的抽样分布定理 定理1——样本均值、方差的分布 设X1,X2;,Y是 取自正态总体N(p,a2)的样本,则 (1)X~N(,) 正态分布的线性组合仍服从正态分布 2)…=(xx232 ~x2(n-1); (3)X和S2相互独立 An=16 04 02 n 0 10
设 X1,X2,…,Xn 是 取自正态总体N(, 2)的样本, 当总体为正态分布时, 教材上给出了4 个重要的抽样分布定理. 一、正态总体的抽样分布定理 定理1 则 (1) ~ ( , ); 2 n X N = = − − n i Xi X n S 1 2 2 2 2 ( ) ( 1) 1 (2) (3) . X 和S 2 相互独立 EX=, DX=2 /n 正态分布的线性组合仍服从正态分布 2 2 nSn = ~ ( 1); 2 n− ——样本均值、方差的分布
定理2—一样本均值和方差标准化的抽样分布 设X1,X2,…,X是取自正态总体N({u,a2)的样本,则 X-u r(n-1) S/√nS 证由定理的(1)知ⅹ~N(,3 N(0,1) 由定理的(3)与(2)知 (n-1)S 相互独立,且 (n-1)S 2 x(n-1), 由T分布定义知 X-H o/n t(n-1) 上述两个定理中所涉及到的样本均是来自同一个正态总体 但实际中,我们还经常需要考察来自不同的正态总体样本.不妨假 定取自不同总体的样本总是独立的
不妨假 定取自不同总体的样本总是独立的. 但实际中, 我们还经常需要考察来自不同的正态总体样本. 设 X1, X2, …, Xn 是取自正态总体N(, 2)的样本, 则 ~ ( 1) 1 − − − t n S n X n 定理2——样本均值和方差标准化的抽样分布 = − S n X = − n i Xi X 1 2 ( ) 证 由定理1的(1)知 ~ ( , )， 2 n X N ~ N(0,1)， n X − 由定理1的(3)与(2)知 n X − 2 2 ( 1) 与 n− S 相互独立, 且 ~ ( 1), ( 1) 2 2 2 − − n n S 由 T 分布定义知 ~ ( 1) . 2 2 − − t n S n X = − S n X 上述两个定理中所涉及到的样本均是来自同一个正态总体