2.1粒子数表象中的升降算符表示粒子数表象中的升降算符也叫产生灭算符（creation&annihilation operators)i.玻色子体系中，升降算符定义为（注意：用一个粒子定义的）I1a p1y... = atagat..OagO... = ataga... 0)aαapa .../1αlply ...) = [0) + 0伴式为<...1,1p1α/=(0] .. ayapaa在各个模式独立的情况下，只考虑第一个模式[1α) = αt/0)问题：那么nα）=（at）"0）是否正确呢？17
17 2.1 粒子数表象中的升降算符表示 粒子数表象中的升降算符也叫产生湮灭算符(creation & annihilation operators) i. 玻色子体系中，升降算符定义为（注意：用一个粒子定义的） |141516 . H = �4 7�5 7�6 7 . |040506 . H = �4 7�5 7�6 7 . |0⟩ �4�5�6 . |141516 . H = |0⟩ ≠ 0 伴式为 ⟨. ������ = ⟨0 . �6 �5�4 在各个模式独立的情况下，只考虑第一个模式 14⟩ = �4 7 0⟩ 问题：那么 �4⟩ = �4 7 8 0⟩是否正确呢？
i.费米子体系中，升降算符定义为[lα1ply ... = [αβy...) = atafat... 0)... ayapaαlαβy...) = [0) ± 0伴式为...yβα|= (ol .. ayapaα只考虑一个费米子[α) = at/0)18
18 ii. 费米子体系中，升降算符定义为 |141516 . H = |��� . ⟩ = �4 7�5 7�6 7 . |0⟩ . �6 �5�4|��� . ⟩ = |0⟩ ≠ 0 伴式为 ⟨. ��� = ⟨0 . �6 �5�4 只考虑一个费米子 �⟩ = �4 7 0⟩
2.2升降算符的运算规则思考：粒子数表象中，玻色子体系和费米子体系的升降算符和a+的排布的顺序如何？考虑一个两粒子体系，单粒子态波函数为βα和β。i.玻色子体系坐标表象：[α(q1)p(q2) + α(q2)β(q1))粒子数表象：[11,12）=10)由于玻色子体系波函数交换对称，[11,12）=[12,11)。所以atat = afat19
19 2.2 升降算符的运算规则 思考：粒子数表象中，玻色子体系和费米子体系的升降算符� 和 �7的排布的顺序 如何？ 考虑一个两粒子体系，单粒子态波函数为�4和�5。 i. 玻色子体系 坐标表象： ' % [�4 �' �5 �% + �4 �% �5 �' ] 粒子数表象：|� ⟩ ', �% = �4 7�5 7|0⟩ 由于玻色子体系波函数交换对称，|� ⟩ ', �% = |� ⟩ %, �' 。所以 �4 7�5 7 = �5 7 �4 7
i.费米子体系坐标表象：[α(q1)β(q2) -α(q2)(q1))粒子数表象：[α,β)=atal0)由于费米子波函数交换反对称，[α,β)=-[β,α)。所以ata = -afat也记为[a, d] = 0同理可证[aα,αp], = 0后面会用到这个性质：越过一个单粒子态，就改变一次符号并且α=β时，=aa=0，又一次验证了泡利不相容原理20
20 ii. 费米子体系 坐标表象： % & [�2 �% �3 �& − �2 �& �3 �% ] 粒子数表象：|�, �⟩ = �2 4�3 4|0⟩ 由于费米子波函数交换反对称，|�, �⟩ = −|�, �⟩。所以 �2 4�3 4 = −�3 4�2 4 也记为 �2 4, �3 4 * = 0 同理可证 �2, �3 * = 0 后面会用到这个性质：越过一个单粒子态，就改变一次符号 并且� = �时，�3 4�3 4 = �2 4�2 4 = 0，又一次验证了泡利不相容原理
以三个全同费米粒子为例对于产生算符alaa/01,02,03)=aaa/03,02,01)= ala/13, 02,01)= ala2/02,13,01)= a/12, 13,01) = a|12, 01,13)= a|01, 12,13) = [11,12, 13)对于潼灭算符a1a23/11,12,13)=a2a3/13,11,12)(两次交换）=a1a2/03,11,12)=—a1a2/12,03,11>(两次交换)=a1/02,03，11)=a1/11,02,03)(两次交换）= -|01,02,03)n(n-1a1a2a3 ..an/11, 12,13, .. 1n) = (-1)2 |01, 02, 03, ... 0n)21
21 以三个全同费米粒子为例 对于产生算符 �� 7 �� 7 �� 7 � ⟩ �, �� , �� = �� 7 �� 7 �� 7 � ⟩ �, �� , �� = �� 7 �� 7 � ⟩ �, �� , �� = �� 7 �� 7 � ⟩ �, �� , �� = �� 7 � ⟩ �, �� , �� = �� 7 � ⟩ �, �� , �� = �� 7 |� ⟩ �, �� , �� = |� ⟩ �, �� , �� 对于湮灭算符 ������ � ⟩ �, �� , �� = ������ � ⟩ �, �� , �� 两次交换 = ���� � ⟩ �, �� , �� = −���� � ⟩ �, ��, �� 两次交换 = −�� � ⟩ �, �� , �� = −�� � ⟩ �, �� , �� 两次交换 = −|� ⟩ �, �� , �� ������ . ��|� ⟩ �, �� , ��, . �� = (−�) �(�<�) � |� ⟩ �, �� , ��, . ��