《张量分析与微分几何基础》课程 教学研究与实践阶段总结性报告 2013年4月7日复旦大学力学与工程科学系 谢锡麟 复旦大学力学与工程科学系 主要内容 ·力学学科特色:力学主要研究对象;力学与物理、数学之间的关系 数学、力学基础知识体系;课程《张量分析与微分几何基础》 现有教学研究与实践总结
《张量分析与微分几何基础》课程 教学研究与实践 阶段总结性报告 2013 年 4 月 7日 复旦大学力学与工程科学系 谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 主要内容 • 力学学科特色：力学主要研究对象；力学与物理、数学之间的关系 • 数学、力学基础知识体系；课程《张量分析与微分几何基础》 • 现有教学研究与实践总结
力学同物理学的区别 力学主要面对对象:连续介质力学 如果物理学系所着力研究的事务需要“望远镜”(宇宙天体)和“显微镜 (粒子世界),则力学所着力研究的事务主要隶属宏观世界,包括:机械运动,材 料宏观性能,生命体中器官、组织等运动;这些事务的一个共同特点往往是所研究 的对象(亦即介质)在空间中呈连续分布形态,称为连续介质。 蔬水基团 生物膜「星体大气 最入腰中的蛋白质 K ar man 涡街 海面油污扩散
Karman涡街 生物膜 星体大气 海面油污扩散 力学同物理学的区别 —— 力学主要面对对象：连续介质力学 如果物理学系所着力研究的事务需要“望远镜”（宇宙天体）和“显微镜” （粒子世界），则力学所着力研究的事务主要隶属宏观世界，包括：机械运动，材 料宏观性能，生命体中器官、组织等运动；这些事务的一个共同特点往往是所研究 的对象（亦即介质）在空间中呈连续分布形态，称为连续介质
“按照近代观点,物理、化学、天体物理、地球 大物理科学 物理、生物物理可以全部归纳为物理科学。力学 是物理科学的,数学又是所有学科的共同工具, 数 力学和数学原是科学发展史上的李生子,因此, 学 形象的可以认为,物理科学是一根梁,力学和数 学是它的两根支柱 谈镐生先生 数学是物理的一部分;物理是自然科学,且是实 验科学;数学是物理中“做实验”比较“便宜” 数 物理学 自然科学 的那部分。 (俄) V I. Arnold 量子力学 力学类同数学的关系 电动力学 力学具有历经长期发展的知识体系 理论力学 注重理论联系实际,既具数学的严谨又 白然世界 理性世界 学&数学 认角多 具物理的灵活,故在人才培养上具有卓 关思想及方法 越的优势 数学刻 连续介质力学 数学刻画 力学结合数学提供了我们认识自 控制力学 然及非自然世界的具有基础意义的系统 的思想和方法。 相关思想及方法 非自然世界 微积分+线性代数测度论 在此过程中,数学表现为认识自 然及非自然世界系统的思想及方法,而 层次 层非仅是逻辑过程
大 物 理 科 学 力 学 数 学 物 理 数学 自然科学 “按照近代观点，物理、化学、天体物理、地球 物理、生物物理可以全部归纳为物理科学。力学 是物理科学的，数学又是所有学科的共同工具， 力学和数学原是科学发展史上的孪生子，因此， 形象的可以认为，物理科学是一根梁，力学和数 学是它的两根支柱。” —— 谈镐生先生 数学是物理的一部分；物理是自然科学，且是实 验科学；数学是物理中“做实验”比较“便宜” 的那部分。 —— （俄）V.I.Arnold 力学类同数学的关系 —— 力学具有历经长期发展的知识体系， 注重理论联系实际，既具数学的严谨又 具物理的灵活，故在人才培养上具有卓 越的优势 。 —— 力学结合数学提供了我们认识自 然及非自然世界的具有基础意义的系统 的思想和方法。 —— 在此过程中，数学表现为认识自 然及非自然世界系统的思想及方法，而 非仅是逻辑过程
R上微分学 a,b上 Riemann积分 教学 路径 武上 Jordan可测集上 Riemann积分 微积 R上微分学 分的 (R"中微分流形上微分学 R"上 Lebesgue测度及 Lebesgue积分 一流 化进 (R中微分流形上积分学) 程 一般赋范线性空间上微分学 □般集类上测度及积分 教学路径:理性力学观点下,基于现代几何学的连续介质力学基本理论及其实践 基本理论课程 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学 固体力学 非 Euclid空间中的张量分析与微分几何 生物力学基础 固体力学基础 血液动力学 连续介质力学一般理论 弹塑性力学 (物质系统: Euclid流形,非 Euclid流形 流体力学 涡量与涡动力学基础|涡量空气动力学
Euclid Euclid 空间中的张量分析与微分几何 非 空间中的张量分析与微分几何 Euclid Euclid 连续介质力学一般理论 （物质系统： 流形，非 流形） 涡量与涡动力学基础 固体力学基础 涡量空气动力学 弹塑性力学 生物力学基础 基本理论课程 生物力学 血液动力学 流体力学 固体力学 1上微分学 m m 上微分学 中微分流形上微分学 一般赋范线性空间上微分学 a,b 上Riemann积分 m 上 可测集上 积分 Jordan Riemann m m Lebesgue Lebesgue 上 测度及 积分 （ 中微分流形上积分学） 一般集类上测度及积分 教学 路径： 微积 分的 一流 化进 程 教学路径：理性力学观点下，基于现代几何学的连续介质力学基本理论及其实践
郭仲衡所著《张量(理论和应用)》郭仲衡所著《非线性弹性理论》 知识体系 知识体系 ①张量的代数性质(张量定义为多重线性映照)①有限变形理论(连续介质几何形态默认为 ②仿射量的基本性质(基于外积运算) Euclid流形)。理论框架上分别对初始物理构 ③张量值映照微分学(合各向同性张量值映照的形以及当前物理构形引入曲线坐标系,理论发 表示理论等) 展上按变形梯度及其基本性质,变形刻画,输 ④微分几何中曲线论与曲面论的基本内容(主要运方程,守恒律方程等。 包括局部标架及其运动方程) ②有限变形弹性静力学、有限变形弹性动力学 ⑤现在几何学中相关思想及方法(包括基于同态若干典型事例的半解析求解 映照的推前及拉回,Lie导数, Hodge星算子,内 ③变分原理。 导数,外微分以及相关运算之间的关系),对此 部分内容的叙述虽然未引入微分流形的概念,但 所述的相关思想及方法可以几近完全地移植于流 郭先生书著的特点:(1)严谨性,各层 形上的分析,且数学分析上非常清晰 面微分学;(2)现代性,联系现代几何学 ⑥张量分析在连续介质中应用(几何形态默认为 值得指出,基于《张量(理论和应用)》 Bucd流形),包括变形刻画,输运方程;另涉所裁张量分析的知识体系,研习《非线性弹性 及同态扩张以及Le导数等在连续介质力学中的应理论》就显得较为自然而无数学以及力学分析 用,但书著中未对这部分内容做深入阐述 上的困难
① 张量的代数性质（张量定义为多重线性映照） ② 仿射量的基本性质（基于外积运算） ③ 张量值映照微分学（含各向同性张量值映照的 表示理论等） ④ 微分几何中曲线论与曲面论的基本内容（主要 包括局部标架及其运动方程） ⑤ 现在几何学中相关思想及方法（包括基于同态 映照的推前及拉回，Lie导数，Hodge星算子，内 导数，外微分以及相关运算之间的关系），对此 部分内容的叙述虽然未引入微分流形的概念，但 所述的相关思想及方法可以几近完全地移植于流 形上的分析，且数学分析上非常清晰。 ⑥ 张量分析在连续介质中应用（几何形态默认为 Euclid流形），包括变形刻画，输运方程；另涉 及同态扩张以及Lie导数等在连续介质力学中的应 用，但书著中未对这部分内容做深入阐述。 郭仲衡所著《张量（理论和应用）》 知识体系 郭仲衡所著《非线性弹性理论》 知识体系 ① 有限变形理论（连续介质几何形态默认为 Euclid流形）。理论框架上分别对初始物理构 形以及当前物理构形引入曲线坐标系，理论发 展上按变形梯度及其基本性质，变形刻画，输 运方程，守恒律方程等。 ② 有限变形弹性静力学、有限变形弹性动力学 若干典型事例的半解析求解。 ③ 变分原理。 —— 郭先生书著的特点：（1）严谨性，各层 面微分学；（2）现代性，联系现代几何学 —— 值得指出，基于《张量（理论和应用）》 所载张量分析的知识体系，研习《非线性弹性 理论》就显得较为自然而无数学以及力学分析 上的困难