第1章财产保险业务1163 免赔额与赔偿限额对纯保费的综合影响(Compre- P=(HS,2) (1) hensive Effect of Deductions and Limit of Recovery 式中，P—保费： on Net Premium)】 H一某种函数： 如果在险种设计中同时使用免赔额d与赔偿限额“，且 S一随机风险： 不考虑通货膨胀的影响，则保险公司的实际赔款支出为 一在保费计算中需要考虑的其他因素。 X u+d 保费的计算过程就是对保险公司所承保的风险进行评 d<X≤u+d 估的过程。在纯保费的基础上增加安全附加后的风险保费 X≤d 应具以下基本特征： 因此包括零赔付（即在免赔额以下的损失）在内的期望 1.无欺性。风险保费不应超过保险公司对随机风险的 赔付额为 最大可能赔付额，否则就意味着保险公司将获得一笔必然的 ned 利润。若令S表示随机风险，H(S)是按某种保费计算原理确 0·[1-F(d)]+(x-d)f(x)dx+u[1-F.(u+d)] 定的风险保费，max{S}表示最大可能赔付额，则应有 H(S)≤max{S} E[X;u+d]-E[X;d] (1) 2.超均值性。风险保费不能小于随机风险的期望损失， 由于包括零赔付在内的期望索赔频率为，所以当免赔 否则会使保险公司的经营出现必然的亏损。用符号表示 额为d,赔偿限额为u时的纯保费为 则为 n·1E[X;u+d]-E[X;d] (2) H(S)≥E(S) 免赔额为d,赔偿限额为u时的期望索赔频率为n·[1- 3.可加性。对于相互独立的随机风险，它们一起投保的 F(d)](不包括零赔付)，从而保险公司的期望赔付额为 风险保费应该等于各自分别投保时的风险保费之和。若令 {E[X;u+d]-E[X:d]}/1-F,(d)} (3) S,与S2是相互独立的随机风险，则应有 如果通货膨胀率为i,免赔额d和赔偿限额u保持不变则 H(S,+S2)=H(S,)+H(S2) 保险公司的实际赔付支出为 需要注意的是，这里的可加性仅仅是风险保费而言的，没 Z>u+d 有考虑费用附加。在考虑费用附加的情况下，可加性未必成 Z=z-d d<Z≤u+d 立，因为签发两份保单的费用肯定要超过签发一份保单的 l0, Z≤d 费用。 其中，Z=(1+)X 4.平移不变性。如果随机风险增加一个固定的损失C, 包括零赔付在内的期望赔付额为 则相应的风险保费也应增加一个常数C。即 0·[1-F(0]+∫e-de)k+[1-F.(u+d] H(S+C)=(S)+C 4 这是因为损失C是一个固定的常数，所以保险公司在 =1+){x+]-x4]} 承保该风险后必然要发生C元的赔付支出，因此在风险保费 中当然也应包括这部分固定支出。 从而纯保费为 5.齐次性。当风险按某一比例增加或减少时，风险保费 n1+){x+]-[x14]} (5) 也应作同样比例的增减变化，即对于正实数c,有 如果免赔额d与赔偿限额“随着通贷膨胀成正比例增 H(cS)=cH(S) 加，则相应的纯保费为 n·(1+i){E[x:u+d]-E[x;d]} (6) 安全附加与保费计算原理(Safety Attachment and 即为原纯保费的(1+)倍。 Premium Calculation Principles) 期望值原理(Expectation Value Principle)令S表示随 安全附加与风险保费(Safety Attachment and Risk 机损失，则按期望值原理计算的风险保费为 Premium) H(S)=(1+r)E(S) (1) 如果保险公司仅仅收取纯保费E[S],而没有任何安全 根据期望值原理确定的安全附加是期望赔付额的一定 附加，就很有可能出现实际损失大于期望赔付成本E[S],或 比例。用期望值原理确定的风险保费具有下述性质： 者产生对期望成本的估计值E[S]小于其真实值E[S]。因 1.无欺性。只要适当选取r,总可以使H(S)=(1+r)E 此，保险公司必须在纯保费的基础上收取一定数量的应付难 (S)≤maxS成立。 以预料的不确定性赔付费用，这个费用称为安全附加。安全 2.超均值性。 附加与纯保费之和构成的保费可称其为风险保费。保费计 H(S)=(1+r)E(S)≥E(S) 算原理就是确定安全附加的一个准则。 3.可加性。 保费计算原理的公式为 HS,+S2)=H(S)+H(S2)
1164第六篇保险实务定量分析 4.齐次性。 ≤E[S]+M-ES】.M H(cS)=cE[S] M 但期望值原理不满足平移不变性，即当≠0时 =M maxS H(S+C)=(1+r)E[S+C] 2.超均值性。 =H(S)+(1+r)C H(S)=E(S)+B·√Tar(S)≥E[S] ≠H(S)+C 3.平移不变性。 方差原理(Variance Principle)在方差原理下，安全附 H(S+C)=E[S+C]+B·√ar[S+C] 加是随机损失的方差的一定倍数即风险保费为 =E[s]+C+B·√War[SJ H(S)=E(S)+B·Var(S) (2) =H(S)+C 方差原理具有下述特性： 4.齐次性。 1.无欺性。 H(cS)=E[cS]+B·√Tar[cSJ 若令max{S}=M,则S≤M从而E[S2]≤MP。又由于 =cE[S]+cB·√War[S] Var[S]=E[S2]-[E(s)]2≤E[s2]≤M2 cH(S) 所以 但标准差原理不满足可加性，这是因为 H(S)=E[S]+B·Var[S]≤E[S]+BM HS+S2)=E[S+S]+B·√mS+S2] 因此只要取B≤M-ES】,则有 Me ≠E[S]+ELS]+(B·√/ar[SJ+√amS) H(S)≤E[S】+M-ES]yr =HS)+H(S2) M 但是，当S,与S2完全相关时，标准差原理具有可加性， E[S]+M-E[S] 如令S,=2S2,则有 maxS H(S,+S2)=H[3S]=E[3S,]+B·√am3SJ 2.超均值性。 H(S)=E(S)+B·ar(S)≥E(S) =3E[S,]+3βWar[3S,] 3.可加性。 HS)+HS)=E[S]+B·Tam[SJ+E[2S]+B·√am[2S] H(S+S2)=H(S)+H(S2) =3E[S]+38√/am3SJ 4.平移不变性。 由于标准差原理不具有可加性，因此在实际应用时可能 H(S+C)=E(S+C)+B.VarS+C 会存在一些问题。不妨考虑个独立同分布的随机风险，它 =E[S]+C+B·Vam[S] 们都服从正态分布N(u,σ2)。 =H(S)+C 零效用原理(Zero Effectiveness Principle)假设保险公 但根据方差原理计算的风险保费不满足齐次性，即 司的效用函数为u(x),'(x)>0,(x)<0,则按零效用原理 H(cS)=E[cS]+B.Var[cS] 确定的风险保费为下述方程关于P的解： =cE[S]+Be2·Var[S] uR E[u(R+P-S)] (1) ≠cHLS] 式中，R—一保险公司的风险准备金： 标准差原理(Standard Differential Principle)标准差原 P一承保随机风险S所要求的保费。 理将安全附加确定为随机损失的标准差的一定倍数，从而使 由此可见，在零效用原理下，保险公司承保随机风险S 得它在计量单位上与期望损失保持一致。在标准差原理下，之后的期望效用E[(R+P-S)]等于它原有的效用u(R)。 风险保费的计算公式为 如果使用指数效用函数u(x)=(1-e“)/a,则有 H(S)=E(S)+B·√Tar(S) (3) (1-ea)/a=E[u(R+P-S)] 标准差原理计算的风险保费具有下述性质： =E[(1-ea-9)/a] 1.无欺性。 =1-Leahe"Ele] aa 若记max{S}=M,则有 Var[S]=ELS2]-[E(S)]2≤E[S2]≤M 所以E[e"]=e 两边取对数即得 从而√Tar[S订≤M,又由于 P=IInE[e"] HLS]=E[S]+B·Var[S]≤E[S]+BM, 所以只要取 从上式不难看出，用指数效用函数确定的风险保费与保 B≤M-EI】,则有 险公司的初始准备金R无关。参数α表示对危险的厌恶程 M 度，α越大，保费越高。当随机风险S为正态分布时，即S~ H(S)≤E[S]+BM N(μ，σ2)，由零效用原理得到的保费计算公式为
第1章财产保险业务1165 P=u+2 若令s为风险等级数{b,i=1,2,…,s}为各等级的毛 保费水平，则b是风险保费，和费用附加©，之和。假设费用 这与方差原理下的计算公式相同。 附加e:包括保险公司的营运费用g、代理人佣金c、税收t 零效用原理确定的风险保费具有下述性质： 和利润附加P,则有 1.无欺性。 bi=r+ei=r+(gi+ci+ti+p) (1) 由于效用函数单调递增，所以 在传统的精算研究中，总是假设费用附加©：是风险保费 u(R+P-S)u(R+P-maxS) T的一定比例，即e=a,b,=(1+a)T。此时，费用附加系 Eu(R+P-S)]≥ELu(R+P-nxS]=u(R+P-mS)数a可表示为 u(R)≥u(R+P-max{S}) a=9=影+9+4+卫 R≥R+P-maxS P≤max{S} =++点+ (2) 2.超均值性。 由于效用函数是凹函数，所以由Jensen不等式可知 =cg+a:+,+e u[E(R+P-S)]E[u(R+P-S)]u(R) 式中，a。一运作费用附加系数； E[R+P-S]≥R a。—代理佣金附加系数： P≥E[S] a一税收附加系数： 3.可加性。 α。一利润附加系数。 对于指数效用函数，零效用原理具有可加性（可以证明 按风险保费，：的一定比例确定费用附加显然不尽合理。 此条件是充分必要的)： 为了克服上述问题，有两种办法可供选择，即均衡附加 P(S,)+P(S2)=IInE[e ]+1InE[e] 法和线性附加法。 a 均衡附加法(Even number Attached Method)均衡附加 IInELe(s] 法假定，不论被保险人的风险水平如何，一律支付相同的费 用附加B,即第i等级的被保险人应该支付的毛保费为b',=, =P(S,+S2) +B,而不是b:=(1+a)r。若令9：表示第i等级的被保险人 4.平移不变性。 占全部被保险人的比重，则为了使得费用附加形式的改变不 对于随机损失$，按零效用原理确定的风险保费为方程 影响保险公司的保费收入，应有 u(R)=E[u(R+P-S)]关于P的解。当随机损失增加固定 常数C时，风险保费应为方程u(R)=E[u(R+P-S-C)] 6a,=6,a 关于P'的解。对于保险公司而言，不论承保随机损失S还是 S+C,它的效用是不变的，因此有 ∑(G,+B)q,=∑(1+a)r9 E[u(R+p-S)]=E[u(R+P'-S-C)] B=a∑r9 从而 E[u(R+P-S)]-u(R+P'-S-C)]=0 由于效用函数是单调递增的，所以 1+a R+P=R+P'-C =子2a 亦即P'=P+C。 因此第i等级的被保险人应该支付的保费为 零效用原理确定的风险保费不满足齐次性。这是因为， 若随机损失变为原来的c倍，即为S,则按零效用原理确定的 6+a=产。+子am (3) 风险保费为方程u(R)=E[u(R+P'-cS)]关于P'的解，从 但在传统的比例附加模式下，第i等级的被保险人实际 而E[u(R+P-S)]=E[u(R+P'-cS)]。要使零效用原理 支付的保费为b,=(1+a)r1,所以，相对于均衡附加法他们多 确定的风险保费满足齐次性，必须有P'=cP,从而E[u(R+P 支付（或少支付）的保费为 -S)]=E[u(R+cP-cS)]=E[u(R+c(P-S))]。由于效 E=b:-b' 用函数的单调递增性，除非c=1,否则上式不能成立。 =(1+a)r-(T+B) ar-B 费用附加(Expense Loading) 费用附加是用于支付经营费用、代理人佣金和税金等项 b &b,9: =a1+a1+a 的费用。它是保费厘定中不容忽视的一个主要因素。传统 的费用附加都是按照风险保费的一定比例计算的，即“商业 =4aa-a） 保费=风险保费×(1+α)”。 相应地，他们支付的“实际”风险保费为
1166第六篇保险实务定量分析 r'i=n E =+s,(1+a-y)-(a-y)6] b 经验估费法(Method of Expense Estimate by Expe- =6-f26a (4) rience) =b:-B 是保险人根据被保险人自身的索赔经验对其续保期的保 均衡附加法对被保险人的风险水平不加区分，仍是缺欠。 费进行调整，使每个被保险人的续期保费尽可能地反映其风险 线性附加法(Linear Attached Method)线性附加法假定 水平的估费方法。这种方法包括两大类，一类是在保险年度开 一部分费用附加由所有的被保险人平均负担，每人支付固定 始前，根据被保险人最近几个保险年度的索赔经验确定下一个 的份额，另一部分费用附加则按照被保险人的风险大小，根 保险年度的续期保费：另一类是在保险年度末，根据被保险人 据其风险保费的一定比例收取。此时，第i等级的被保险人 当年的索赔经验调整他在当年已经缴纳的保险费。经验估费 应该支付的保费为 法既可以应用于个体保单，也可以应用于某个保单集合。 b':=(1+y)+B (5) 其中 贝叶斯定理(Bayes Theorem) Y =Y+y+y:+y 贝叶斯定理是进行某种统计推断的基础。它可根据被 B=B。+B.+B,+B。 保险人的历史索赔经验对其索赔频率估计进行调整，从而调 为了使得保险公司的保费收入在线性附加法下保持原 整其保险费率。贝叶斯定理的一个简单形式是： 来的水平不变，则应有 Pr(X=xoI Y =y) Pr(X xo).Pr(Y yI X =xo) ∑b'4.=∑b,9 (1) ∑[Pr(X=x)·Pr(Y=ylX=x)] n(+)+(+) (6) 为分析贝叶斯方法在经验估费法中的应用，我们首先观 察它在计算条件概率时的一个应用。 B-a- 例1：某保险人签发了20000份汽车保险单，根据该保单 组合的期望索赔频率，所有保单被分成A,B、C三组。结果如 =(a-y)∑9 (7) 表6-1-24所示，如果从整个保单组合中随机抽取一份保 单，结果该保单在过去的一个保险年度没有发生任何保险事 +2am 故。试计算该保单属于A、B,C三个组别的概率分别是多少？ 因此在线性附加法下，第i等级的被保险人应该支付的 表6-1-24 风险分布 保费为 组别 索赔频率 保单数 b'=r(1+y)+B 0.2 8000 +容4a B 0.30 7000 1+a (8) C 0.4 5000 但在传统的比例附加模式下，第i等级的被保险人实际 支付的保费为b,=(1+α)，因此，相对于线性附加模式，他 若令X表示组别，Y表示年索赔次数，则上述问题可表述 们多支付（或少支付）的保费为 为计算如下的条件概率： Pr(X AI Y =0) E:=b:-b' Pr(X BI Y =0) =(1+a)r:-[,(1+y)+β] Pr(X =CI Y =0) ari-yr-B (9) 由表6-1-24可知，在没有其他条件的情况下，从保单 -a-Y地-g26,g: 组合中随机抽取的个体保单属于A、B、C三个组别的概率分 1+a1+a 别为 =+(4-含6a) P-(X=A)=8000/20000=0.4 Pr(X=B)=7000/20000=0.35 相应地，他们交纳的“实际”风险保费为 Pr(X=C)=5000/20000=0.25 r'i=n +E 在假设A,B,C三组保单的索赔次数服从泊松分布的条 件下，有 Pm(y=01x=A)=.02=0.81873 0 (10)
第1章财产保险业务1167 P(Y=01X=B)=0.3 0！ =0.74082 高，而实线所代表的自信程度最低。 图6-1-1所示的三条曲线事实上是下述伽玛分布的三 Pm(Y=01X=C)=404 =0.67032 个特例： 0！ 将上述结果代入式(1)有 Pr(X =AI Y=0) 0.40×0.81873 =0.40×0.81873+0.35×0.74082+0.25×0.67032 =0.43413 P(X=BI Y=0) 0.35×0.74082 =0.40×0.81873+0.35×0.74082+0.25×0.67032 =0.34372 P(X=C1Y=0) 0.25×0.67032 图6-1-1先验概率分布 =0.40×0.81873+0.35×0.74082+0.25×0.67032 )=(a) (2) =0.22215 由此可见，如果从保单组合中随机抽取一份保单，该保 伽玛分布在非负的区间内连续，且具有易变性的特点， 单在过去的一个保险年度没有发生任何保险事故，那么该保 因此比较适用于描述先验概率分布。 单属于A组的概率较大，为0.43413。 若令伽玛分布的均值α/B等于保险人对索赔频率X的 如果随机抽取的个体保单在此年正好发生了4次索赔， 主观估计，则方差αB反映了保险人对这种估计的自信程 则后验概率将完全不同。此时，相应的泊松概率为 度。如果保险人对其主观判断十分有把握，则方差会很小。 P(y=41X=A)=e4:02=0.0005458 否则方差会较大。 41 伽玛分布的密度函数还可表示为： Pm(y=41X=B)=:03-0.025003 4！ P<X≤r+=7(a)- (3) Pmy=41X=C=.01=0.0071501 如果给定期望索赔频率x,那么包含N份保单的一个保 4！ 单组合，其索赔次数Y将服从均值为Nx的泊松分布，即 因此 Pr(X=A1Y=4)=0.0757 Pr(Y=yIx=x)=(N) y (4) Pr(X=B1Y=4)=0.30375 如果保险人经过一年时间的观察，此保单组合发生了y Pr(X=C1Y=4)=0.62045 次索赔，则保险人希望利用这种新获取的信息对其原来的期 表6-1-25 条件概率分布 望索赔频率估计进行调整。换句话说，保险人需要计算概率 素赔次数 属于A组的概率 属于B组的概率 属于C组的概率 Px(x<X≤x+dxIY=y)。利用贝叶斯公式(1)，有 0 0.43413 0.34372 0.22215 Pr(x<X≤x+dxIY=y) 0.31143 0.36985 0.31872 =Pr(Y=ylX=)·Pr(x<X≤x+d 2 0.20712 0.36896 0.42393 Pr(Y=ylX=x)·fx)d 3 0.12877 0.34409 0.52714 4 0.07578 0.30375 0.62045 e(Nx)y.B、e(Br)a-ld 5 0.04276 0.25708 0.70016 (5) 6 0.02378 0.21087 0.76575 「e(Nx)'.B 由此可知，如果随机抽取的个体保单在此年发生了4次 名！‘Taea(Br)-d 索赔，则它最有可能属于C组。其他计算结果如表6-1-25 =7品(“ 所示。 其中：A=a+y 现在考虑一组保单的情形。假设它们有共同的但未知 B=B+N 的期望索赔频率X,保险人认为它在0.1附近。保险人关于 由此可见，保险人关于索赔频率的后验估计P:(x<X 索赔频率的主观判断可以通过图6-1-1所示的先验概率加 ≤x+dIY=y)仍然是伽玛分布，均值为A/B,方差为A/ 以描述。图6-1-1给出了三条概率曲线，它们的均值都是 B。因此，保险人的新增信息使得先验参数a增加到α+y, 0.1。但它们代表着保险人对其主观判断的不同自信程度。 净增量是观察期实际发生的索赔次数：使得先验参数B增 细点线表示的自信程度一般，粗点线所代表的自信程度最 加到B+N,净增量为实际观察的保单数。从而新增信息使