例。1设X1~B(1,p),各X相互独立 X=∑X1,求x的分布 解:∵g(z)=q+p2z,g(2z)=(q+P2z) X B(n,p) 例1。2设X~G(p),各X,相互独立 X=∑X1,求X的分布。 解∷∴g(z)=P2 pz g'&(3 gz
例1。1 设 X ~ B(1, p) i ，求X的分布。 = = n i X Xi 1 ，各 Xi 相互独立。 ( ) , ( ) ( ) . n 解： gi z = q + pz g z = q + pz X ~ B(n, p) 例1。2 设 X ~ G( p) i ，求X的分布。 = = n i X Xi 1 ，各 Xi 相互独立。 n i qz pz g z qz pz g z ) 1 , ( ) ( 1 ( ) − = − 解： =
=p"z(1-qz)(泰勒展开) Penn(n+1)n+k-1) (q=)(见P。58) k=0 p22∑ n-1 k n k-1(q2 k=0 n+k=t nn ∑C(q)"=∑C 1-」 k-n k k-1p q t=n k P(X=k=Ck-lp"q,k=n,n+1 即Xx~B(m,p)
n n n p z qz − = (1− ) （泰勒展开） = + + − = 0 ( ) ! ( 1)...( 1) k n n k qz k n n n k p z （见P。58） = − = + − 0 1 1 ( ) k n k n k n n p z C qz = − − − = − − − + = = = k n n n k n k k t n n t n t n n n k t p z C qz C p q z 1 1 1 1 ( ) ( ) , , 1,... 1 = = 1 = + − − P X k C − p q k n n n n k n k 即 ~ ( , ) 1 X B n p −
例1。3掷三颗骰子,求总点数为9的概率。 解:设X:为第讠颗骰子的点数,i=1,2,3 则总点数为:X=X1+X2+X32 P(X;=k)=,k=1,2,,6;i=1,2,,6 所以,x,的母函数为: ∑ k=1 6 X的母函数为: g()=(1-32°+322-281-=)
例1。3 掷三颗骰子，求总点数为9的概率。 设 Xi 为第 i 颗骰子的点数， i =1,2,3 则总点数为： , X = X1 + X2 + X3 解： , 1,2,...,6; 1,2,...,6 6 1 P(Xi = k) = k = i = k k g z z = = 6 1 6 1 ( ) 6(1 ) (1 ) 6 z z z − − = 所以， Xi 的母函数为： X 的母函数为： 6 1 2 1 8 3 3 3 3 (1 3 3 )(1 ) 6 ( ) − = − z + z − z − z z g z
g2(-)=3(1-32+3=42-=18)∑Ck(q k: z的糸数包括两项: k=0为、3 k=6时为-C 6+2 25 P(X=9)=3( 2 216 必须指出:用母函数处理问题是,经常要用到 泰勒展开式
= − = − + − + − 0 3 1 3 1 6 1 2 1 8 3 3 3 (1 3 3 ) ( ) 6 ( ) k k z z z C k qz z g z 216 25 ( 3) 6 1 ( 9) 2 P X = = 3 C8 − = 9 z 的糸数包括两项： , 6 3 3 − k=6时为 2 3 6 2 6 1 C + k=0时为 必须指出：用母函数处理问题是，经常要用到 泰勒展开式
四。母函数与数字特征的关系 定理设随机变量X的期望、方差和母函数 分别为E(X)2D(X),g(z),则有 (1)E(X)=g(1),(1。8) (2)D(X)=g"()+g(1)-[g(1)2.(1。9) 证:(1);g(-)=∑p2,g(2)=∑k k=0∞ k: 从而有:g()=∑kpk=E(X) (2)只需证明:E(X2)=g()+g(1)
四。母函数与数字特征的关系 定理 设随机变量X的期望、方差和母函数 分别为 E(X ), D(X ), g(z) ，则有： （1） E(X ) = g (1); （2） ( ) (1) (1) [ (1)] . 2 D X = g + g − g 证： = − = = = 1 1 0 ( ) , ( ) . k k k k k k g z p z g z k p z 从而有： = = = 1 (1) ( ). k g k pk E X （1） （2）只需证明： ( ) (1) (1). 2 E X = g + g （1。8） （1。9）