§6.2定积分的的性质 性质1若f(x)=1,则f(x)t==b-a 证「ax ∑Ar1=b-a 1->0 性质2若(x)与gx)在[a,b]上可积,则f(x)±gx)在[a,b 上也可积,且[f(x)±g(x)=Jf(x)+8(x)hr 证「(x)+g(x)=m∑U()士8(5)x mf(Ax±m∑g(5)x (x)女+Jg(x 注1性质2可推广到有限个,即∫∑(xk=∑(x)
1 §6.2 定积分的的性质 性质1 若ƒ(x)=1, 则 ( ) b b a a f x dx dx b a = = − 0 1 lim n b i a i dx x → = = 性质2 若ƒ(x)与g(x)在[a, b]上可积, 则ƒ(x) ± g(x)在[a, b] 上也可积, 且 [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx = [ ( ) ( )] b a f x g x dx 注1 性质2可推广到有限个, 即 1 1 ( ) ( ) n n b b i i a a i i f x dx f x dx = = = 0 0 1 1 lim ( ) lim ( ) n n i i i i i i f x g x → → = = = 证 证 = −b a 0 1 lim [ ( ) ( )] n i i i i f g x → = = ( ) ( ) b b a a = f x dx g x dx
性质3若f(x)在[ab上可积,k为常数,则kf(x)在[ab 上也可积,且「(xt f(x)dx 证∫6(x)=mC的(5)A=klm∑/()Ax2=k,/(x) 性质4(区间可加性)若f(x)在点a、b、c所成区间中最大 的一个上可积,则f(x)在其余两个区间上也可积,且 ∫(x)=(x)+(xh 证分两种情形讨论 I.若a<c<b,则因f(x)在[a,b上可积知,其积分和的极限 存在且与a,b的分法和5的取法无关
2 性质3. 若ƒ(x)在[a, b]上可积, k为常数, 则kƒ(x)在[a, b] 上也可积, 且 ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx = 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a i kf x dx kf x → = = 0 1 lim ( ) ( ) . n b i i a i k f x k f x dx → = = = 性质4(区间可加性) 若ƒ(x)在点 a、 b 、 c 所成区间中最大 的一个上可积, 则ƒ(x)在其余两个区间上也可积, 且 证 ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + 证 分两种情形讨论 Ⅰ.若a<c<b,则因ƒ(x)在[a, b]上可积知, 其积分和的极限 存在且与[a, b]的分法和 i 的取法无关
因而可将点c作为区间的一个分点,并记x=C,从而 n=∑f()Ax+∑f(5)x 其中∑(5x和∑f()Ax分别是f(x)在[a,d与c,b上的 i=k+1 积分和,当λ→>0时,对上式两边取极限,有 ∫(x)=J(xk+(x) c
3 , k x c = 从而 1 1 ( ) ( ) k n n i i i i i i k S f x f x = = + = + 因而可将点 c 作为区间的一个分点, 并记 积分和, 当 时, 1 1 ( ) ( ) k n i i i i i i k f x f x = = + 其中 和 →0 ( ) ( ) ( ) . b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + 分别是ƒ(x)在[a, c]与[c, b]上的 对上式两边取极限, 有
Ⅱ.若点c不在内不妨设a<b<c,其他情形可类似证明, 则由1有∫(x)=(对+0(x /(xk=/(x)-.(x)=/(x)+!(x) 性质5若f(x)与g(x)在[ab上都可积,且∨x∈[a,b],均有 f(x)≤g(x)则‖f(x)x≤g(x)dty 证∫[(x)-g(x)k=im∑U()-8(5)△x≤0 ∫/x)hx-g(x)k≤0(xkg(xk
4 Ⅱ. 若点 c不在内.不妨设 a<b<c, 其他情形可类似证明, 则由Ⅰ有 ( ) ( ) ( ) c b c a a b f x dx f x dx f x dx = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b c c c b a a b a c f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =−=+ 性质5 若ƒ(x)与g(x)在[a, b]上都可积, 且 x a b [ , ] , 均有 ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx 则 f x g x ( ) ( ). 0 1 [ ( ) ( )] lim [ ( ) ( )] 0 n b i i i a i f x g x dx f g x → = 证 − = − ( ) ( ) 0 b b a a f x dx g x dx − ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx
性质6若f(x)在[a,b上连续,f(x)≥0但不恒为零,必有 f(x)dx>0 证因在[a,b上f(x)≥0但不恒为零,故在{ab]上至少存在一点 6,不妨设x∈(a,b),使得f(x0)≥0 由f(x)的连续性知,在x的某邻域内,必有 f(x)≥f(x0)>0 而(x-6,x0+)c[a,6] (x)k=-(xk+”/(x)+。(x)全 f(x)dx 1 +6 dx=f(x0)6>0
5 性质6 若ƒ(x)在[a, b]上连续, f x( ) 0 ( ) 0 b a f x dx 但不恒为零, 必有 f x( ) 0 0 x , 0 x a b 0 ( , ), f x( ) 0 0 x 0 0 而 ( , ) [ , ] x x a b − + 0 1 ( ) ( ) 0 2 f x f x 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) b x x b a a x x f x dx f x dx f x dx f x dx − + − + = + + 证 因在[a, b]上 但不恒为零,故在[a,b]上至少存在一点 不妨设 使得 由ƒ(x)的连续性知, 在 的某邻域内, 必有 0 0 ( ) x x f x dx + − 0 0 0 0 1 ( ) ( ) 0 2 x x f x dx f x + − =