已知α为GF(p上的本原元,怎样求出GF(p) 上的所有本原元? GF(p)中的每个元素可表示为的幂次形式 由习题1319知,∝的阶为p2-1当且仅当(k, pn-1)=1,即α为本原元当且仅当(k,p-1)=1 因此我们就可在a,x2,Cp1中找出所有的本 原元
已知为GF(pn )上的本原元，怎样求出GF(pn ) 上的所有本原元？ GF*(pn )中的每个元素可表示为的幂次形式 k 。 由习题13.19知，k的阶为p n -1当且仅当(k, p n -1)=1，即k为本原元当且仅当(k, pn -1)=1。 因此我们就可在,2 ,p n-1中找出所有的本 原元
已知Zn上的一个n次本原多项式fx),怎样 求出Z上所有的m次本原多项式? 1费尔马小定理: 设p为素数,a为非零整数,且(a,p)=1,则 ap-=l mod p 证明对任意与p互素的非零整数a 有al∈Z, 因为元素的阶是群的阶的因子, 所以[ap=1, 即apl=1modp
已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),怎样 求出Zp上所有的n次本原多项式? 1.费尔马小定理: 设p为素数,a为非零整数,且(a,p)=1,则 a p-11 mod p 证明:对任意与p互素的非零整数a, 有[a]pZp * , 因为元素的阶是群的阶的因子, 所以[a]p-1=1, 即a p-1=1modp
2q(x)=x?是GF(P)的自同构映射 证明:满足同态等式 对 满射设为生成元对任意的B∈GF(p), 有β=取 X-O Ai(x =(akp)P=(akp)=(aP) c c
2.(x)=xp是GF(pn )的自同构映射. 证明:满足同态等式 一对一 满射:设为生成元,对任意的GF(pn ), 有=k ,取x=kpn-1 , 则(x)=(kpn-1 ) p = (kpn )= (p n ) k =(p n -1 ) k = k
3设a为本原多项式fx根则a,a,a? ,aP是本原元,且是x)的根 证明:(1)op是本原元 先证明(p,p-1)=1 然后由习题13,19得:P的阶是p1 所以a是本原元 (2)0xp是x)的根
3.设为本原多项式f(x)的根,则,p ,p2 , ,p n-1是本原元,且是f(x)的根. 证明:(1)pi是本原元 先证明(p i ,pn-1)=1 然后由习题13.19得:pi的阶是p n-1 所以pi是本原元 (2)p i是f(x)的根
结论: 1.a为本原多项式x)的根则有 f(x=(x-C)(x-aLP)(x-aP)(x-aP) 2已知Z上的一个m次本原多项式敢x)求 所有n次本原多项式的方法是 (1)先求出x)的一个根,即本原元a,然后 求出GF(p)中的所有本原元, (2)根据求出的本原元按结论1中的方法 构造其他本原多项式 3凡不可约多项式若有一个根是本原元, 则它的所有根都是本原元,即它一定是本 原多项式
结论: 1. 为本原多项式f(x)的根,则有 f(x)=(x-)(x-p )(x-p 2 )(x-p n-1 ) 2.已知Zp上的一个n次本原多项式f(x),求 所有n次本原多项式的方法是: (1)先求出f(x)的一个根,即本原元,然后 求出GF(pn )中的所有本原元, (2)根据求出的本原元按结论1中的方法 构造其他本原多项式. 3.凡不可约多项式若有一个根是本原元, 则它的所有根都是本原元,即,它一定是本 原多项式